ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Отметим, что ни одну из этих стрелок нельзя обратить, например, из пото-
чечной сходимости, вообще говоря, не вытекает равномерная сходимость и
так далее.
3. Признаки Абеля и Дирихле
Приводимые ниже признаки являются аналогами признаков Абеля и
Дирихле для случая числовых рядов.
Напомним сначала следующее утверждение.
Т
ЕОРЕМА 5. Предположим, что
n∈
,
1
{}
n
kk
a
=
— монотонная число-
вая последовательность,
1
{}
n
kk
b
=
— произвольная числовая последователь-
ность. Тогда имеет место оценка
1
1
11
(| | 2 | |) max .
nk
kk n i
kn
ki
ab a a b
≤≤
= =
≤+ ⋅
∑∑
Указанное в теореме неравенство называется неравенством Абеля.
Т
ЕОРЕМА 6 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что для функцио-
нального ряда
1
() ()
nn
n
a xb x
+∞
=
∑
,
xI∈
выполняются следующие условия:
1) для каждого
xI∈
числовая последовательность
1
{ ( )}
nn
ax
+∞
=
явля-
ется монотонной;
2)
() 0
n
ax
на промежутке
I
;
3) существует такая константа
M
, что для всех
1n ≥
,
xI∈
имеет
место оценка
1
()
n
k
k
bx M
=
≤
∑
.
Тогда ряд
1
() ()
nn
n
a xb x
+∞
=
∑
равномерно сходится на промежутке
I
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для произвольных натуральных
n
,
p
и любого
xI∈
из условия 3) теоремы получаем:
1 11 1 1
() () () () () 2 .
np np np
nn
k kk k k
kn k k k k
bx bx bx bx bx M
++ +
=+====
= −≤ + ≤
∑ ∑∑ ∑ ∑
Воспользуемся условием 2) формулировки теоремы. Выберем произволь-
ное
0
ε
>
и найдем такое
N
, что при
nN≥
для всех
xI∈
выполняется не-
равенство
| ( )|
n
ax
ε
<
. Применяя для произвольного фиксированного
xI∈
неравенство Абеля к числовым последовательностям
1
{ ( )}
np
k
kn
ax
+
= +
и
1
{ ( )}
np
k
kn
bx
+
= +
,
находим:
Глава 2
74
Функциональные ряды
ç
è
Абель
Дирихле
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- …
- следующая ›
- последняя »
