Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

сходится, ввиду оценки
1
1
1 x
<
+
.
Перейдем к анализу равномерной сходимости. Рассмотрим остатки
исходного ряда. При фиксированном
0x >
к ряду применим признак
Лейбница. Применяя оценку для остатка этого ряда, находим:
1
1
1
( 1) 1
.
1 ( 1) ( 1) 1
(1 ) (1 )
k
kn
kn
xx x x
nx nxn
xx
−
+∞
+
= +
−
< = <=
++ + + +
++
∑
Полученная при
0x >
оценка
1
1
( 1) 1
1
(1 )
k
k
kn
x
n
x
−
+∞
= +
−
<
+
+
∑
остается верной и при
0x =
, поскольку в этом случае сумма в левой части
является нулевой. Теперь из полученной оценки следует равномерная схо-
димость рассматриваемого ряда.
Покажем теперь, что ряд, составленный из модулей членов исходно-
го ряда, не является абсолютно сходящимся. При
0x >
его остаток имеет
вид
11
10
1 11
.
1
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1
1
kn kn n
kn k
xx x
xx xx x
x
+∞ +∞
++
=+=
= = ⋅=
++ ++ +
−
+
∑∑
При
0x =
сумма указанного остатка является нулевой. Отсюда получаем,
что
000
11
1
sup sup sup 1.
(1 ) (1 ) (1 )
k kn
xxx
kn kn
xx
x xx
+∞ +∞
≥>>
=+=+
= = =
+ ++
∑∑
(∗)
Здесь учтено, что для любого
0x >
выполняется неравенство
(1 ) 1
n
x+>
и,
следовательно,
1
1
(1 )
n
x
<
+
. Кроме того,
. Поэтому
0
1
sup 1.
(1 )
n
x
x
>
=
+
Из равенства (∗) следует, что ряд
1
(1 )
n
n
x
x
+∞
=
+
∑
не сходится равномерно на
промежутке
[0, )+∞
.
З
АМЕЧАНИЕ. Ниже будет доказано такое утверждение. Если все чле-
ны функционального ряда
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
являются непрерывными функциями на
промежутке
I
и ряд равномерно сходится на этом промежутке, то сумма
этого ряда является функцией, непрерывной на промежутке
I
. Из этого ут-
Глава 2
72
Функциональные ряды
ç
è

Страницы