Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

верждения также следует, что ряд
1
(1 )
n
n
x
x
+∞
=
+
∑
не сходится равномерно на
промежутке
[0, )+∞
. Действительно, все члены этого ряда являются функ-
циями, непрерывными на промежутке
[0, )+∞
. Легко найти сумму этого
ряда, то есть функцию
1
()
(1 )
n
n
x
Sx
x
+∞
=
=
+
∑
. При
0x >
имеет место равенство
() 1Sx=
, кроме того,
(0) 0S =
. Функция
S
не является непрерывной на
промежутке
[0, )+∞
, что невозможно для равномерно сходящегося ряда.
З
АМЕЧАНИЕ. Для функционального ряда
,
xI∈
мы рассмат-
ривали выше четыре типа сходимости:
поточечная сходимость на промежутке
I
, то есть сходимость
числового ряда
для любого фиксированного
xI∈
;
абсолютная сходимость на промежутке
I
, то есть сходимость
числового ряда
1
| ( )|
n
n
ax
+∞
=
∑
для любого фиксированного
xI∈
;
равномерная сходимость функционального ряда
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
на
промежутке
I
;
равномерная сходимость функционального ряда
1
| ( )|
n
n
ax
+∞
=
∑
на
промежутке
I
.
На приводимой ниже диаграмме указано, из каких видов сходимости
вытекает сходимость другого типа.
поточечная
сходимость
на промежутке
I
⇐
абсолютная
сходимость
на промежутке
I
⇑
⇑
равномерная
сходимость
ряда
на промежутке
I
⇐
равномерная
сходимость
ряда
1
| ( )|
n
n
ax
+∞
=
∑
на промежутке
I
Глава 2
73
Функциональные ряды
ç
è

Страницы