Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1
1
11
3
2
() () (| ()| 2| ()|)max () () 6
np nq
kk n np kk
qp
kn kn
M
a xb x a x a x a xb x M
ε
ε
++
++
≤≤
=+=+
<
≤
≤+ ⋅ ≤
∑∑


.
В силу произвольности
ε
, из критерия Коши равномерной сходимости
функционального ряда выводим равномерную сходимость ряда
1
() ()
nn
n
a xb x
+∞
=
∑
.
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ. Условие 2) формулировки теоремы может быть пере-
формулировано так: частичные суммы ряда
1
()
n
n
bx
+∞
=
∑
равномерно ограни-
чены на промежутке
I
.
С
ЛЕДСТВИЕ ПРИЗНАКА ДИРИХЛЕ. Предположим, что последователь-
ность функций
1
{}
nn
a
+∞
=
, определенных на промежутке
I
, удовлетворяет
следующим условиям:
1) для любого
xI∈
числовая последовательность
являет-
ся монотонной;
2)
() 0
n
ax
на промежутке
I
.
Тогда функциональный ряд
1
1
( 1) ( )
n
n
n
ax
+∞
−
=
−
∑
равномерно сходится на про-
межутке
I
.
Это утверждение вытекает из признака Дирихле, если положить
1
( ) ( 1)
n
n
bx
−
= −
,
n∈
,
xI∈
.
Отметим, что приведенное следствие является аналогом (для случая
функциональных рядов) признака Лейбница сходимости числового ряда.
П
РИМЕР. Доказать равномерную сходимость ряда
1
1
( 1)
()
nn
n
x
nx
α
−
+∞
=
−
+
∑
на
промежутке
01x≤≤
при любом
0
α
>
.
Р
ЕШЕНИЕ. Полагаем
1
1
() , () (1) , 1,2, 0 1.
()
nn
nn
ax bx x n x
nx
α
−
= =− = ≤≤
+
При любом фиксированном
[0,1]x∈
последовательность
являет-
ся убывающей. Из оценки
1
() , , 0 1
n
ax n x
n
α
≤ ∈ ≤≤
вытекает, что
() 0
n
ax
на промежутке
[0,1]
.
Глава 2
75
Функциональные ряды
ç
è

Страницы