ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ет, что рассматриваемый функциональный ряд сходится на промежутке
[0, )+∞
поточечно.
Из соотношения
1
lim lim 1
1
nn
n
nx
nx
n
→+∞ →+∞
+
= =
+
,
признака сравнения положительных рядов в предельной форме и расходи-
мости гармонического ряда
1
1
n
n
+∞
=
∑
следует, что ряд
1
1
n
nx
+∞
=
+
∑
расходится, то
есть исходный ряд
1
1
( 1)
n
n
nx
−
+∞
=
−
+
∑
не является абсолютно сходящимся. Поэтому
для анализа равномерной сходимости этого ряда нельзя использовать при-
знак Вейерштрасса. Этот же вывод можно сделать и из равенства
0
11
sup , 1, 2, ,
x
n
nx n
≥
= =
+
из которого следует, что рассматриваемый ряд мажорируется только рас-
ходящимися числовыми рядами.
Покажем, что ряд
1
1
( 1)
n
n
nx
−
+∞
=
−
+
∑
сходится равномерно на промежутке
[0, )+∞
. Для этого воспользуемся оценкой суммы остатка ряда типа Лейб-
ница: модуль суммы не превосходит модуля своего первого члена. Тогда
имеем:
1
1
( 1) 1 1
,0 .
11
k
kn
x
kx n xn
−
+∞
= +
−
< ≤ ≤ < +∞
+ ++ +
∑
Полученная оценка означает, что суммы остатков рассматриваемого ряда
равномерно сходятся к нулю, то есть ряд сходится равномерно на указан-
ном промежутке.
П
РИМЕР 4. Рассмотрим ряд
1
1
( 1)
(1 )
n
n
n
x
x
−
+∞
=
−
+
∑
,
0 x≤ < +∞
.
В каждой точке
0x ≥
этот ряд абсолютно сходится. Действительно,
при
0x =
ряд
1
(1 )
n
n
x
x
+∞
=
+
∑
состоит из нулевых членов и, следовательно, схо-
дится. При
0x >
ряд
11
1
(1 ) (1 )
nn
nn
x
x
xx
+∞ +∞
= =
=
++
∑∑
Глава 2
71
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
