ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
вой ряд
1
n
n
b
+∞
=
∑
мажорирует функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
. Если числовой
ряд
1
n
n
b
+∞
=
∑
сходится, то функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
сходится на проме-
жутке
I
равномерно по признаку Вейерштрасса. Предположим теперь, что
исходный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
,
xI∈
удовлетворяет признаку Вейерштрасса, то
есть существует сходящийся числовой ряд
1
n
n
C
+∞
=
∑
и выполняются оценки
| ( )|
nn
ax C≤
,
n∈
,
xI∈
. Тогда для каждого
n∈
имеет место оценка
sup | ( ) |
nn
xI
ax C
∈
≤
, то есть
nn
bC≤
, и числовой ряд
1
n
n
b
+∞
=
∑
сходится по признаку
сравнения числовых рядов с неотрицательными членами. Из сказанного
вытекает следующее утверждение: к функциональному ряду
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
мож-
но применить признак Вейерштрасса в том и только том случае, когда схо-
дится ряд
1
sup | ( ) |
n
xI
n
ax
+∞
∈
=
∑
.
По аналогии с признаком Вейерштрасса доказывается следующее
утверждение.
Т
ЕОРЕМА 4 (ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ). Если
члены функциональных рядов
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
и
1
()
n
n
bx
+∞
=
∑
,
xI∈
удовлетворяют ус-
ловию
| ()| ()
nn
ax bx≤
,
n∈
,
xI∈
и ряд
1
()
n
n
bx
+∞
=
∑
равномерно сходится на
промежутке
I
, то ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
сходится на промежутке
I
абсолютно и
равномерно.
Доказательство этой теоремы несущественно отличается от доказа-
тельства признака Вейерштрасса и предоставляется читателю. Отметим,
что признак Вейерштрасса является следствием этой теоремы.
П
РИМЕР 1. Рассмотрим функциональный ряд
2
1
sin
,.
n
nx
x
n
+∞
=
∈
∑
Глава 2
69
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
