Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

| ( )|
nn
ax C≤
,
xI∈
,
1
n =
, 2, …,
причем числовой ряд
1
n
n
C
+∞
=
∑
сходится. Тогда функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
сходится на промежутке
I
абсолютно и равномерно.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отметим прежде всего, что все числа
n
C
являются
неотрицательными. Сходимость ряда
1
| ( )|
n
n
ax
+∞
=
∑
для каждого
следует
из признака сравнения для знакопостоянных рядов. Докажем теперь рав-
номерную сходимость ряда
1
| ( )|
n
n
ax
+∞
=
∑
. Отсюда будет следовать и равно-
мерная сходимость ряда
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
.
Выберем произвольное
. Из сходимости ряда
1
n
n
C
+∞
=
∑
, в силу кри-
терия Коши сходимости числового ряда получаем, что существует такое
N
, что для любых
nN≥
,
, 2, … выполняется неравенство
1
np
k
kn
C
ε
+
= +
<
∑
. Тогда для любых
nN≥
,
, 2, … и
имеем:
11
| ( )| .
np np
kk
kn kn
ax C
ε
++
=+=+
≤<
∑∑
В силу произвольности
ε
, из критерия Коши равномерной сходимости
функционального ряда выводим равномерную сходимость ряда
1
| ( )|
n
n
ax
+∞
=
∑
на промежутке
I
.
Теорема доказана.
З
АМЕЧАНИЕ 1. Говорят, что числовой ряд
1
n
n
C
+∞
=
∑
мажорирует функ-
циональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
.
З
АМЕЧАНИЕ 2. Для функционального ряда
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
,
введем сле-
дующие величины:
sup | ( ) |
nn
xI
b ax
∈
=
,
n∈
. Предположим, что все они яв-
ляются конечными. Из оценки
| ( )|
nn
ax b≤
,
n∈
,
следует, что число-
Глава 2
68
Функциональные ряды
ç
è

Страницы