Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

щимся рядом
1
n
n
x
+∞
=
∑
. Покажем, что при
01x≤<
ряд не является сходящим-
ся равномерно. Для этого возьмем произвольное число
[0,1)x∈
и рассмот-
рим сумму
12 2
2
1
.
12 2
kn n n
n
kn
xx x x
kn n n
++
= +
= + ++
++
∑
Числители дробей в правой части образуют убывающую последователь-
ность, а знаменатели — возрастающую последовательность. Следователь-
но, выполняются неравенства
12 2
.
12 2
nn n
xx x
nn n
++
≥ ≥≥
++
Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьшим, то есть
2
2
n
x
n
, и учитывая,
что сумма содержит
n
слагаемых, получаем оценку
22
2
1
.
22
k nn
n
kn
x xx
n
kn
= +
≥⋅ =
∑
(∗)
Из полученного соотношения следует, что
.
В силу произвольности числа
n
, отсюда находим, что рассматриваемый
ряд не удовлетворяет условию критерия Коши и, следовательно, не явля-
ется равномерно сходящимся.
Приведем еще одно следствие критерия Коши равномерной сходи-
мости ряда.
С
ЛЕДСТВИЕ 2. Если функциональный ряд
1
| ( )|
n
n
ax
+∞
=
∑
,
xI∈
равномерно
сходится на промежутке
I
, то функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
также рав-
номерно сходится на промежутке
I
.
Это утверждение легко выводится вытекает из оценки
11
() | ()|, , .
np np
kk
kn kn
ax ax np xI
++
=+=+
≤ ∈∈
∑∑
Т
ЕОРЕМА 3 (ПРИЗНАК ВЕЙЕРШТРАССА). Предположим, что члены фун-
кционального ряда
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
,
xI∈
допускают оценки
Глава 2
67
Функциональные ряды
ç
è

Страницы