ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11
()
kk
kn kn
Ax a
+∞ +∞
=+=+
=
∑∑
.
Остается заметить, что правая часть последнего соотношения не зависит
от
x
и стремится к нулю.
Перейдем теперь к некоторым примерам.
П
РИМЕР. Ряд
1
n
n
x
+∞
=
∑
сходится для
( 1,1)x∈−
. Остаток ряда имеет вид:
1
1
()
1
n
n
n
kn
x
xx
x
σ
+
+∞
= +
= =
−
∑
.
Отметим, что
10
lim ( )
n
x
x
σ
→−
= +∞
. Следовательно, для любого
n∈
выполня-
ется равенство
11
sup | ( ) |
n
x
x
σ
−<<
= +∞
, и равномерная сходимость рассматри-
ваемого ряда на промежутке
( 1,1)−
места не имеет. Аналогично получаем,
что ряд не будет равномерно сходящимся на промежутке
[0,1)
. Из соотно-
шения
10
1
lim | ( ) |
2
n
x
x
σ
→− +
=
вытекает, что ряд не является равномерно сходя-
щимся и на промежутке
( 1, 0]−
.
Для любого
α
,
01
α
<<
рассматриваемый ряд равномерно сходится
на промежутке
[ ,]
αα
−
, что следует из соотношения
||
lim sup | ( ) | lim 0.
1
n
n
nn
x
x
α
α
σ
α
→+∞ →+∞
≤
= =
−
Отметим следующие свойства равномерно сходящихся рядов. Дока-
зательства этих свойств предоставляются читателю.
1) Если функциональные ряды
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
и
1
()
n
n
bx
+∞
=
∑
равномерно схо-
дятся на промежутке
I
, то ряды
1
( () ())
nn
n
ax bx
+∞
=
±
∑
также равномерно
сходятся на этом промежутке.
2) Если функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
равномерно сходится на про-
межутке
I
, а функция
ϕ
определена и ограничена на этом промежутке,
то ряд
1
() ()
n
n
xa x
ϕ
+∞
=
∑
равномерно сходится на промежутке
I
.
Глава 2
65
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
