Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

для любого фиксированного
xI
∈
числовая последовательность
1
{ ( )}
nn
fx
+∞
=
является фундаментальной и, следовательно сходящейся, в силу критерия
Коши для числовой последовательности. Определим функцию
() lim (),
n
n
fx f x x I
→+∞
= ∈
и покажем, что рассматриваемая функциональная последовательность схо-
дится к функции
f
равномерно.
Выберем произвольное
0
ε
>
и найдем такое
N
, что для всех
nN≥
,
1p =
,
2
, … и произвольного
xI∈
выполняется неравенство
| () ()| .
np n
f x fx
ε
+
−<
Переходя здесь к пределу при
p → +∞
, получаем, что
.
Полученное неравенство означает, что имеет место равномерная сходи-
мость
I
n
ff
.
Теорема доказана.
2. Функциональные ряды.
Пусть
1
{}
nn
a
+∞
=
— последовательность функций, определенных на не-
котором промежутке
I
. Выражение
12
() () ()
n
ax a x a x+ ++ +
,
или
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
называется функциональным рядом.
Если для некоторого
0
xI∈
числовой ряд
0
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
сходится, говорят,
что исходный функциональный ряд сходится в точке
0
x
. Если числовой ряд
0
1
| ( )|
n
n
ax
+∞
=
∑
сходится, говорят, что исходный функциональный ряд абсо-
лютно сходится в точке
0
x
. Если функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
сходится в
каждой точке
xI∈
, говорят, что он сходится поточечно на промежутке
I
.
Если функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
абсолютно сходится в каждой точке
xI∈
, говорят, что он абсолютно сходится на промежутке
I
.
Рассмотрим частичные суммы функционального ряда:
Глава 2
63
Функциональные ряды
ç
è

Страницы