ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
при
n → +∞
. Поэтому сходимость функций
n
f
к нулевой функции равно-
мерной не является.
Графики функций
2nn
xx−
при
1n =
,
2
,
3
и
4
изображены на следующем
рисунке.
З
АМЕЧАНИЕ. Можно доказать отсутствие равномерной сходимости в
предыдущем примере по следующей схеме. Рассмотрим функцию
2
()x xx
ϕ
= −
,
01x≤≤
.
Из соотношения
( ) (1 )xx x
ϕ
= −
следует, что эта функция обращается в
ноль на концах отрезка и принимает положительные значения во всех его
внутренних точках. При любом натуральном значении
n
отображение
n
xx→
взаимно-однозначно отображает отрезок
[0,1]
на себя. Поэтому
множество значений функции
()
n
x
ϕ
,
01x≤≤
совпадает с множеством
значений функции
()x
ϕ
,
01x≤≤
. Учитывая, что
() ( )
n
n
fx x
ϕ
=
, отсюда по-
лучаем, что
01 01
max ( ) max ( ) const 0
n
xx
fx x
ϕ
≤≤ ≤≤
= = >
,
что и говорит об отсутствии равномерной сходимости к нулю. Приведен-
ная схема рассуждений может быть перенесена на случай последователь-
ности функций
( ) , 0 1, 1, 2,
nn
n
fx x x x n
αβ
= − ≤≤ =
,
где
α
,
β
— постоянные,
0
αβ
<<
. Здесь также будет иметь место пото-
чечная, но не равномерная сходимость к нулевой функции.
Глава 2
61
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- …
- следующая ›
- последняя »
