ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Отметим следующие простые свойства равномерно сходящихся по-
следовательностей функций.
1) Равномерная сходимость
I
n
ff
равносильная условию
0
I
n
ff−
.
2) Если
I
n
ff
,
I
n
gg
, то
I
nn
f g fg±±
.
3) Если
I
n
ff
,
g
— произвольная функция, определенная на про-
межутке
I
, то
I
n
f g fg++
.
4) Если
I
n
ff
,
ϕ
— ограниченная функция, определенная на про-
межутке
I
, то
I
n
ff
ϕϕ
.
Приведем теперь необходимое и достаточное условие равномерной
сходимости функциональной последовательности.
Т
ЕОРЕМА 1 (КРИТЕРИЙ КОШИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИО-
НАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
). Пусть
1
{}
nn
f
+∞
=
— последовательность
функций, определенных на промежутке
I
. Эта последовательность явля-
ется равномерно сходящейся на этом промежутке в том и только том
случае, когда для любого числа
0
ε
>
найдется такое значение
N
, что для
всех
nN≥
,
1p =
,
2
, … и всех
xI∈
выполняется неравенство
| () ()| .
mn
f x fx
ε
−<
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Предположим, что последовательность
1
{}
nn
f
+∞
=
равномерно сходится на промежутке
I
к функции
f
. Выберем произволь-
ное
0
ε
>
и найдем такое число
N
, что для всех
nN≥
и всех
xI∈
выпол-
няется неравенство
| () ()|
2
n
f x fx
ε
−<
. Тогда для тех же значений
n
и всех
1p =
,
2
, … выполняется неравенство
npN+>
и, следовательно, для про-
извольного
xI∈
имеем:
| () ()|
2
np
f x fx
ε
+
−<
. Отсюда получаем, что для
всех
nN≥
,
1p =
,
2
, … и произвольного
xI∈
| () ()||( () ()) ( () ()|
np n np n
f xfx f xfx fxfx
++
− = − − −≤
| () ()| | () ()| .
22
np n
f x fx f x fx
εε
ε
+
≤ − + − <+=
2. Докажем обратное утверждение. Предположим, что для любого
0
ε
>
найдется такое
N
, что для всех
nN≥
,
1p =
,
2
, … и произвольного
xI∈
выполняется неравенство
| () ()|
np n
f x fx
ε
+
−<
. Отсюда следует, что
Глава 2
62
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
