ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
выполняется не для всех
[0,1)x∈
. Это означает, что сходимость данной по-
следовательности функций к нулевой функции не является равномерной.
Отметим, что в данном случае
01
sup| () ()|1 0
n
x
f x fx
≤<
−=
при
n → +∞
,
что также говорит об отсутствии равномерной сходимости.
П
РИМЕР 3. Пусть
1
()
nn
n
fx x x
+
= −
,
01x≤≤
,
n∈
.
Очевидно, что при любом значении
[0,1]x∈
lim ( ) 0
n
n
fx
→+∞
=
. Пока-
жем, что сходимость
() 0
n
fx→
,
[0,1]x∈
является не только поточечной,
но и равномерной. Рассмотрим величину
01
sup | ( ) |
n
x
fx
≤≤
, которая, в силу того,
что функции
n
f
принимают неотрицательные значения и непрерывны на
отрезке
[0,1]
, совпадает с величиной
01
max ( )
n
x
fx
≤≤
. Найдем наибольшее зна-
чение функции
n
f
на отрезке
[0,1]
. Функция
n
f
дифференцируема на от-
резке
[0,1]
. Поэтому свое наибольшее значение она принимает либо на од-
ном из концов отрезка, либо во внутренней стационарной точке, то есть в
точке
x
, удовлетворяющей условию
() 0
n
fx
′
=
,
01x<<
. Из соотношения
1
( ) ( 1)
nn
n
f x nx n x
−
′
= −+
находим стационарную точку
1
n
x
n
=
+
. Учитывая, что
(0) 0f =
,
(1) 0f =
,
получаем, что
1
01
max ( )
11 1
nn
n
x
nn n
fx f
nn n
+
≤≤
==−=
++ +
11
1
1 1 111
nn
n nn
n n nnn
= −= <
+ + +++
.
Следовательно,
01
lim sup | ( ) | 0
n
n
x
fx
→+∞
≤≤
=
, и сходимость является равномерной.
П
РИМЕР 4. Пусть
2
()
nn
n
fx x x= −
,
01x≤≤
,
n∈
.
В этом случае
() lim () 0
n
n
fx f x
→+∞
= =
для всех
[0,1]x∈
. Находим ста-
ционарные точки функции
n
f
. Соотношение
() 0
n
fx
′
=
переписываем в ви-
де
1 21
20
nn
nx nx
−−
−=
, откуда получаем, что единственной внутренней ста-
ционарной точкой является
1
2
n
x =
. Учитывая, что
(0) 0
n
f =
,
(1) 0
n
f =
, на-
ходим:
01
01
11
sup| () ()| max () 0
4
2
n nn
n
x
x
fx fx fx f
≤≤
≤≤
−= = =
Глава 2
60
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
