ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
lim sup | ( ) ( ) | 0.
n
n
xI
f x fx
→+∞
∈
−=
(∗)
Действительно. Допустим, что
() ()
n
f x fx
,
xI∈
. Выберем произвольное
0
ε
>
и найдем такое
N
, что для всех
nN≥
и всех
xI∈
выполняется не-
равенство
| () ()|
n
f x fx
ε
−<
. Отсюда следует, что
sup| () ()| , .
n
xI
f x fx n N
ε
∈
−≤ ≥
Полученное соотношение означает, что выполняется условие (∗). Анало-
гично из условия (∗)выводится равномерная сходимость рассматриваемой
последовательности.
З
АМЕЧАНИЕ 3. Рассмотрим произвольную сходящуюся числовую по-
следовательность
1
{}
nn
a
+∞
=
. Ее можно рассматривать как последовательность
функций, определенных на произвольном промежутке
I
и принимающих
постоянные значения. Очевидно, что эта функциональная последователь-
ность будет также сходится на этом промежутке, причем равномерно.
З
АДАЧА. Дать прямое определение того, что последовательность
1
{}
nn
f
+∞
=
не сходится равномерно к функции
f
.
З
АДАЧА. Сформулировать определения сходимости в точке, на про-
межутке и равномерной сходимости на промежутке, пользуясь языком
кванторов.
Приведем некоторые примеры.
П
РИМЕР 1. Рассмотрим последовательность функций
1
( ) sin( )
n
f x nx
n
=
,
1n =
, 2, …,
определенных на всей вещественной оси
. Очевидно, что для любого
вещественного
x
выполняется равенство
lim ( ) 0
n
n
fx
→+∞
=
, то есть данная по-
следовательность поточечно сходится к нулевой функции. Покажем, что
сходимость данной последовательности к нулевой функции является рав-
номерной. Воспользуемся оценкой
11
| ( ) | sin .
n
f x nx
nn
= ≤
Выберем произвольное
0
ε
>
. Из полученной оценки следует, что если
1
n
ε
<
, то
| ( )|
n
fx
ε
<
для всех
x∈
. Неравенство
1
n
ε
<
равносильно усло-
вию
1
n
ε
>
, или
nN≥
, где
1
1N
ε
= +
. Итак, мы доказали, что для любого
0
ε
>
найдется такое
()NN
ε
=
, что для всех
nN≥
выполняется неравен-
ство
| ( )|
n
fx
ε
<
,
x∈
. Поскольку число
N
можно взять не зависящим от
Глава 2
58
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
