Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Гл а в а 2. Функциональные
последовательности и ряды
1. Поточечная и равномерная сходимость.
Пусть
1
{}
nn
f
+∞
=
— последовательность функций, определенных на не-
котором промежутке
I
. Говорят, что эта последовательность сходится в
точке
0
xI∈
, если числовая последовательность
01
{ ( )}
nn
fx
+∞
=
является схо-
дящейся. Говорят, что последовательность
1
{}
nn
f
+∞
=
сходится на про-
межутке
I
поточечно, если она сходится в каждой точке
xI∈
. Полагая в
этом случае
() lim ()
n
n
fx f x
→+∞
=
для каждого
xI∈
, получаем некоторую
функцию
f
, определенную на промежутке
I
. В силу единственности пре-
дела сходящейся числовой последовательности, эта функция определяется
исходной функциональной последовательностью единственным образом.
Говорят, что данная функциональная последовательность поточечно схо-
дится к функции
f
. Наличие такого соотношения записывается следую-
щим образом:
,
xI∈
.
Проанализируем данное определение. Для каждой точки
xI∈
по
любому
0
ε
>
найдется такое
N
, что для всех
nN≥
выполняется неравен-
ство
| () ()|
n
f x fx
ε
−<
. Отметим, что число
N
зависит как от числа
ε
, так и
от выбранной точки
x
. Если для любого
0
ε
>
можно найти число
N
, об-
ладающее указанными свойствами и не зависящее от
x
, говорят, что дан-
ная функциональная последовательность сходится к функции
f
равномер-
но на промежутке
I
. Приведем точное определение.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть
1
{}
nn
f
+∞
=
— последовательность функций, опре-
деленных на промежутке
I
,
f
— функция, определенная на этом проме-
жутке. Говорят, что указанная последовательность равномерно сходится на
промежутке
I
к функции
f
, если по любому
0
ε
>
найдется такое
N
, что
для всех
nN≥
и всех
xI∈
выполняется неравенство
| () ()|
n
f x fx
ε
−<
.
Наличие такого соотношения записывается следующим образом:
() ()
n
f x fx
,
xI∈
или
I
n
ff
.
З
АМЕЧАНИЕ 1. Очевидно, что из равномерной сходимости на множе-
стве
I
вытекает поточечная сходимость на этом множестве. Обратное ут-
верждение, как мы увидим ниже на примерах, вообще говоря, неверно.
З
АМЕЧАНИЕ 2. Условие равномерной сходимости на множестве
I
может быть записано следующим образом:
ç
è

Страницы