Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

будет положительно определенной. Следовательно, для
x∆
,
y∆
, удовле-
творяющих условиям
||x
ε
∆<
,
||y
ε
∆<
, и не равных одновременно нулю,
выполняется неравенство
22
2
2
(,)()2(,)
ff
a xb y x a xb y x y
xy
x
θθ θθ
∂∂
+∆ +∆ ⋅∆ + +∆ +∆ ⋅∆∆+
∂∂
∂
2
2
2
( , )( ) 0
f
a xb y y
y
θθ
∂
+ +∆ +∆ ⋅∆ >
∂
,
то есть
( , ) (,) 0fa xb y fab+∆ +∆ − >
. Это означает, что в точке
(,)ab
функ-
ция
f
имеет строгий локальный минимум.
Теорема доказана.
Ограничиваясь случаем функций двух переменных, переформулиру-
ем полученное утверждение в терминах производных функции
f
. Как и
выше, считаем, что точка
2
(,)ab ⊂
является стационарной для функ-
ции
f
. Введем обозначения
( , ), ( , ), ( , ).
A ab B ab C ab
xy
= = =
∂∂
Тогда утверждение теоремы может быть переформулировано так:
1) если
0A >
и
2
0AC B−>
, то функция
f
имеет в точке
(,)ab
строгий минимум;
2) если
0A <
и
2
0AC B−>
, то функция
f
имеет в точке
(,)ab
строгий максимум;
3)
2
0AC B−>
, то функция
f
не имеет в точке
(,)ab
экстремума.
П
РИМЕР. Рассмотрим функцию
33
(, ) 3f x y x y xy=+−
,
x
,
y∈
. То-
гда
22
(, ) (,)
3 3, 3 3.
f xy f xy
xy yx
xx
∂∂
=−=−
∂∂
Глава 1
55
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы