Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Предположим, что функция
f
определена и непрерывна вместе со
своими частными производными первого и второго порядка в некоторой
окрестности точки
n
a∈
. Рассмотрим симметричную матрицу
22 2
2
12 1
1
22 2
2
12 2
2
22 2
2
12
() () ()
() () ()
() () ()
n
n
nn
n
ff f
aa a
xx xx
x
ff f
aa a
A
xx xx
x
ff f
aa a
xx xx
x

∂∂ ∂

∂∂ ∂∂
∂


∂∂ ∂

=
∂∂ ∂∂

∂



∂∂ ∂


∂∂ ∂∂
∂


.
Соответствующую ей квадратичную форму от
n
переменных обозначим
через
g
.
В этих предположениях и обозначениях справедливо следующее ут-
верждение.
Т
ЕОРЕМА 15. Предположим, что выполняются равенства
12
() 0, () 0, , () 0.
n
ff f
aa a
xx x
∂∂ ∂
= = =
∂∂ ∂
Тогда
1) если квадратичная форма
g
является положительно определен-
ной, то функция
f
имеет в точке
a
строгий локальный минимум;
2) если квадратичная форма
g
является отрицательно определен-
ной, то функция
f
имеет в точке
a
строгий локальный максимум;
3) если квадратичная форма
g
является неопределенной, то функ-
ция
f
не имеет в точке
a
экстремума.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. В доказательстве мы ограничимся случаем функ-
ции двух переменных и детально рассмотрим только пункт 1).
53
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы