Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим случай
0AC= =
. Квадратичная форма
f
принимает
вид
(, ) 2f x y Bxy=
. Неравенство
2
0AC B−<
в данном случае равносильно
неравенству
2
0B >
, то есть условию
0B ≠
. Легко видеть, что последнее
условие равносильно неопределенности квадратичной формы
f
. Действи-
тельно, если
0B =
, то функция
f
является тождественно нулевой, и не яв-
ляется неопределенной квадратичной формой. Если
0B ≠
, то в некоторых
точках функция
f
принимает значения разных знаков, например,
Итак, при любых предположениях относительно
A
и
C
условие
2
0AC B−<
необходимо и достаточно для неопределенности рассматри-
ваемой квадратичной формы.
Теорема доказана.
Из приведенных выше критериев положительной и отрицательной
определенности и неопределенности квадратичных форм от двух перемен-
ных немедленно вытекает следующий результат.
Т
ЕОРЕМА 14. Предположим, что квадратичная форма
22
0 00
(, ) 2f x y A x B xy C y=++
является положительно определенной. Тогда существует такое
0
ε
>
,
что для любых значений
A
,
B
,
C
, удовлетворяющих условиям
000
| |,| |,| |,AA BB CC
εεε
−< −< −<
квадратичная форма
22
2Ax Bxy Cy++
является положительно опреде-
ленной. Аналогичное утверждение справедливо для случаев отрицательно
определенных и неопределенных квадратичных форм.
З
АМЕЧАНИЕ. Утверждение, аналогичное сформулированной теореме,
справедливо и для случая квадратичных форм от произвольного числа пе-
ременных. Перейдем теперь к достаточным условиям существования экс-
тремума функции нескольких переменных.
Глава 1
52
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы