Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Предположим, что для функции
(, )f xy
, определенной и непрерыв-
ной вместе со своими частными производными первого и второго поряд-
ков в некоторой окрестности
2
U ⊂
точки
(,)ab
выполняются условия
(,) 0, (,) 0.
ff
ab ab
xy
∂∂
= =
∂∂
(∗)
Выберем приращения
x∆
,
y∆
независимых переменных, такие что для
любого
[ 1,1]t ∈−
точка
(,)atxbty+ ⋅∆ + ⋅∆
принадлежит окрестности
U
.
Тогда с учетом соотношений (∗), из разложения функции
по формуле
Тейлора получаем:
( , ) (,)fa xb y fab+∆ +∆ − =
22
2
2
1
(,)()2(,)
2!
ff
a xb y x a xb y x y
xy
x
θθ θθ
∂∂
= +∆ +∆ ⋅∆ + +∆ +∆ ⋅∆∆+
∂∂
∂
2
2
2
( , )( ) .
f
a xb y y
y
θθ
∂
+ +∆ +∆ ⋅∆
∂
Предположим, что квадратичная форма с матрицей
22
2
22
2
(,) (,)
(,) (,)
ff
ab ab
xy
x
ff
ab ab
xy
y

∂∂

∂∂
∂


∂∂


∂∂
∂

является положительно определенной. В силу непрерывности частных
производных второго порядка в точке
(,)ab
, существует такое
0
ε
>
, что
для любых
x∆
,
y∆
, удовлетворяющих условию
||x
ε
∆<
,
||y
ε
∆<
, квадра-
тичная форма с матрицей
22
2
22
2
(,)(,)
(,)(,)
ff
a xb y a xb y
xy
x
ff
a xb y a xb y
xy
y
θθ θθ
θθ θθ

∂∂
+ ⋅∆ + ⋅∆ + ⋅∆ + ⋅∆

∂∂
∂


∂∂

+ ⋅∆ + ⋅∆ + ⋅∆ + ⋅∆

∂∂
∂

Глава 1
54
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы