Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Квадратичная форма
f
является неопределенной в том и только том слу-
чае, когда неопределенной является квадратичная форма
2 22
(, ) ( ) ( )g x y Ax By AC B y=+ +−
,
которую мы и будем анализировать.
Предположим, что квадратичная форма
g
неопределенная. Тогда
имеет место неравенство
2
0AC B−<
. Действительно, в противном случае,
то есть, если
2
0AC B−≥
, для любых
x
,
y∈
выполняются неравенства
2 22
( ) 0, ( ) 0Ax By AC B y+≥ − ≥
и, следовательно,
(, ) 0gxy≥
для любых значений
x
,
y
, что противоречит
условию неопределенности.
Обратно. Предположим, что имеет место неравенство
2
0AC B−<
.
Существуют значения
0
x
,
, удовлетворяющие условиям
00
0Ax By+=
,
0
0y ≠
. Например, можно взять
0
xB=
,
0
yA= −
. Тогда
22
00 0
0
0
(, )( ) 0g x y AC B y
>
<
=−<

.
С другой стороны,
22
( ,0) 0gx Ax= >
для любого
0x ≠
. Квадратичная фор-
ма
g
может принимать значения разных знаков и, следовательно, является
неопределенной.
Мы доказали, что в предположении
0A ≠
квадратичная форма
f
является неопределенной в том и только том случае, когда
2
0AC B−<
.
В случае
0C ≠
с помощью тождества
2 2 2 22
1
2 (( ) ( ) )Ax Bxy Cy Bx Cy AC B x
C
+ += + + −
аналогично доказывается, что неопределенность квадратичной формы
f
равносильна условию
2
0AC B−<
.
Глава 1
51
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы