Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

11 12 13
11 12
11 21 22 23
21 22
31 32 33
0, 0, 0, .
aaa
aa
a aaa
aa
aaa
<> <
Рассмотрим частный случай квадратичной формы от двух перемен-
ных:
22
(, ) 2f x y Ax Bxy Cy=++
. Матрица этой квадратичной формы имеет
вид
AB
BC
. Для анализа положительной определенности такой квадратич-
ной формы можно воспользоваться критерием Сильвестра. Из его получа-
ем:
квадратичная форма
22
(, ) 2f x y Ax Bxy Cy=++
является положи-
тельно определенной тогда и только тогда, когда
0A >
и
2
0AC B−>
.
Эти же результаты можно получить, не обращаясь к критерию Силь-
вестра, и сводя анализ значений, принимаемых квадратичной формой, к
анализу значений, принимаемых квадратным трехчленом. Детальный ана-
лиз такого подхода предоставляется читателю.
Аналогично получается следующий результат:
квадратичная форма
22
(, ) 2f x y Ax Bxy Cy=++
является отрица-
тельно определенной тогда и только тогда, когда
0A <
и
2
0AC B−>
.
Нам потребуется также следующее утверждение.
Т
ЕОРЕМА 13. Квадратичная форма
22
(, ) 2f x y Ax Bxy Cy=++
явля-
ется неопределенной тогда и только тогда, когда
2
0AC B−<
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим сначала, что
0A ≠
. Имеет место
тождество
2 2 2 22
1
2 (( ) ( ) ).Ax Bxy Cy Ax By AC B y
A
+ += + +−
50
Функции нескольких переменных
ç
è

Страницы