ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
точек
x
, это по определению и означает наличие равномерной сходимости
к нулевой функции.
Можно провести анализ несколько в иной форме, воспользовавшись
формулировкой из замечания 2. Равномерная сходимость следует из соот-
ношений
sin sin 1
sup 0 sup 0
xx
nx nx
n nn
∈∈
−= =→
при
n → +∞
.
Графики функций
1
sin( )nx
n
на промежутке
[0,2 ]
π
при
1n =
,
2
,
3
и
4
изо-
бражены на следующем рисунке.
П
РИМЕР 2. Рассмотрим последовательность функций
()
n
n
fx x=
,
[0,1)x∈
,
1n =
, 2,… .
Мы знаем, что
lim 0
n
n
x
→+∞
=
для
[0,1)x∈
, то есть данная последовательность
поточечно сходится на рассматриваемом промежутке к нулевой функции.
Покажем, что эта сходимость не является равномерной. Обозначим че-
рез
f
функцию, определенную на промежутке
[0,1)
и тождественно рав-
ную нулю.
Выберем произвольное
ε
, удовлетворяющее условию
01
ε
<<
, возь-
мем любое натуральное значение
n
и найдем, для каких значений
[0,1)x∈
выполняется неравенство
| () ()|
n
f x fx
ε
−<
. В данном случае последнее не-
равенство принимает вид
n
x
ε
<
, что равносильно условию
n
x
ε
<
. Учиты-
вая, что
1
n
ε
<
, получаем, что при любом значении
n
неравенство
| () ()|
n
f x fx
ε
−<
Глава 2
59
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
