Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

1
() (), , 1,2, .
n
nk
k
Sx ax xI n
=
= ∈=
∑
Поточечная сходимость функционального ряда означает, что для каждого
xI∈
числовая последовательность
1
{ ( )}
nn
Sx
+∞
=
является сходящейся. Таким
образом, определена функция
1
() lim () lim (), ,
n
nk
nn
k
Sx S x a x x I
→+∞ →+∞
=
= = ∈
∑
называемая суммой этого ряда. Если последовательность частичных сумм
1
{}
nn
S
+∞
=
равномерно сходится на промежутке
I
, говорят, что функциональ-
ный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
сходится на промежутке
I
равномерно.
Допустим, что имеет место поточечная сходимость
1
() (), .
k
k
a x Sx x I
+∞
=
= ∈
∑
Тогда равномерная сходимость по определению означает, что
Последнее соотношение можно переписать так:
1
( ) 0,
k
kn
ax xI
+∞
= +
∈
∑
или
1
lim sup ( ) 0.
k
n
xI
kn
ax
+∞
→+∞
∈
= +
=
∑
Как и в случае числовых рядов, иногда рассматриваются функцио-
нальные ряды, суммирование в которых проводится не от 1 до
+∞
, а от
0
или от произвольного целого числа до
+∞
.
З
АМЕЧАНИЕ. Рассмотрим произвольный сходящийся числовой ряд
1
n
n
a
+∞
=
∑
. Обозначим сумму этого ряда через
s
. Его можно рассматривать как
функциональный ряд, составленный из постоянных функций, определен-
ных на произвольном промежутке
I
. Обозначим члены этого ряда сле-
дующим образом:
()
nn
Ax a=
,
xI∈
,
n∈
. Введем на промежутке
I
посто-
янную функцию
()Sx s=
,
xI∈
. Тогда ряд
1
()
n
n
Ax
+∞
=
∑
будет сходится на
промежутке
I
равномерно к функции
()Sx
. Действительно, для любого
xI∈
выполняется равенство
Глава 2
64
Функциональные ряды
ç
è

Страницы