Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

3) Если функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
равномерно сходится на про-
межутке
I
, то для любого
1p ≥
функциональный ряд
()
n
np
ax
+∞
=
∑
также
равномерно сходится на этом промежутке.
Перейдем теперь к признакам равномерной сходимости функцио-
нальных рядов.
Из критерия Коши равномерной сходимости функциональной после-
довательности непосредственно вытекает следующий критерий Коши рав-
номерной сходимости функционального ряда.
Т
ЕОРЕМА 2 (КРИТЕРИЙ КОШИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИО-
НАЛЬНОГО РЯДА
). Функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
,
xI∈
равномерно сходит-
ся на промежутке
I
в том и только том случае, когда для любого
0
ε
>
найдется такое
N
, что для всех
nN≥
,
1p =
,
, … и всех
xI∈
выполня-
ется неравенство
1
() .
np
k
kn
ax
ε
+
= +
<
∑
С
ЛЕДСТВИЕ 1 (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
). Если функциональный ряд
1
()
n
n
ax
+∞
=
∑
,
xI∈
равно-
мерно сходится на промежутке
I
, то последовательность его членов
1
{ ( )}
nn
ax
+∞
=
равномерно сходится к нулю на промежутке
I
, то есть выпол-
няется соотношение
lim sup | ( ) | 0
n
n
xI
ax
→+∞
∈
=
.
Это утверждение вытекает из критерия Коши при
1p =
. Приведен-
ное следствие является аналогом необходимого условия сходимости чи-
слового ряда (
lim 0
n
n
a
→+∞
=
) и также не является достаточным (как для пото-
чечной, так и для равномерной сходимости). Приведем соответствующий
пример.
Рассмотрим функциональный ряд
1
n
n
x
n
+∞
=
∑
,
01x≤≤
. Обозначим
()
n
n
x
ax
n
=
. Из оценки
1
0 ()
n
ax
n
≤≤
,
[0,1]x∈
следует, что при
n → +∞
0
n
a
на промежутке
01x≤≤
. При
1x =
ряд обращается в гармониче-
ский и, следовательно, расходится. При
01x≤<
ряд сходится. Это следу-
ет, например, из того, что при этих значениях
ряд мажорируется сходя-
Глава 2
66
Функциональные ряды
ç
è

Страницы