ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Из оценки
2 22
sin | sin | 1
,
nx nx
x
n nn
= ≤∈
и сходимости числового ряда
2
1
1
n
n
+∞
=
∑
, в силу признака Вейерштрасса, полу-
чаем равномерную сходимость исходного функционального ряда на всей
вещественной оси.
П
РИМЕР 2. Доказать равномерную сходимость функционального ряда
42
1
,0 .
1
n
x
x
nx
+∞
=
≤ < +∞
+
∑
Обозначим
42
()
1
n
x
ax
nx
=
+
,
0x ≥
,
n∈
. Найдем значения
0
sup ( )
n
x
ax
≥
. Из
соотношения
42
4 22
1
() , 0
(1 )
n
nx
ax x
nx
−
′
= ≤ < +∞
+
находим, что при
2
1
0 x
n
≤<
выполняется неравенство
() 0
n
ax
′
>
, а при
2
1
x
n
>
— неравенство
() 0
n
ax
′
<
. Следовательно, функция
n
a
возрастает на
промежутке
2
[0,1 ]n
и убывает на промежутке
2
[1 , )n +∞
. Отсюда вытека-
ет, что в точке
2
1 n
функция
n
a
принимает свое наибольшее значение на
промежутке
[0, )+∞
, то есть
2
2
0
0
1
sup() max () (1 ) , 1,2, .
2
n nn
x
x
ax ax a n n
n
≥
≥
= = = =
Числовой ряд
2
1
1
2
n
n
+∞
=
∑
сходится. Следовательно, рассматриваемый функ-
циональный ряд по признаку Вейерштрасса сходится равномерно.
П
РИМЕР 3. Рассмотрим ряд
1
1
( 1)
n
n
nx
−
+∞
=
−
+
∑
,
0 x≤ < +∞
.
Зафиксируем произвольное
0x ≥
. Последовательность
1
1
n
nx
+∞
=
+
со-
стоит из положительных чисел, монотонно убывает и
1
lim 0
n
nx
→+∞
=
+
. По
признаку Лейбница знакопеременный ряд
1
1
( 1)
n
n
nx
−
+∞
=
−
+
∑
сходится. Это означа-
Глава 2
70
Функциональные ряды
ç
è
Лейбниц
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- …
- следующая ›
- последняя »
