ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3) ряд
1
()
n
n
bx
+∞
=
∑
равномерно сходится на промежутке
I
.
Тогда функциональный ряд
1
() ()
nn
n
a xb x
+∞
=
∑
равномерно сходится на проме-
жутке
I
.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим к равномерно сходящемуся ряду
1
()
n
n
bx
+∞
=
∑
критерий Коши равномерной сходимости ряда. Выберем произ-
вольное
0
ε
>
. В силу этого критерия, существует такое
N
, что при
nN≥
для любых значений
1p =
, 2, … и всех
xI∈
выполняется неравенство
1
()
np
k
kn
bx
ε
+
= +
<
∑
.
Применяя для произвольного фиксированного
xI∈
неравенство Абеля к
числовым последовательностям
1
{ ( )}
np
k
kn
ax
+
= +
и
1
{ ( )}
np
k
kn
bx
+
= +
, находим:
1
1
11
3
() () (| ()| 2| ()|)max () () 3 .
np nq
kk n np kk
qp
kn kn
M
a xb x a x a x a xb x M
ε
ε
++
++
≤≤
=+=+
≤
<
≤+ ⋅ ≤
∑∑
В силу произвольности
ε
, из критерия Коши (равномерной сходимости
ряда) выводим равномерную сходимость ряда
1
() ()
nn
n
a xb x
+∞
=
∑
.
Теорема доказана.
П
РИМЕР. Доказать равномерную сходимость ряда
1
1
( 1) arctg
,0
()
n
n
nx
x
nx
α
−
+∞
=
−
≤ < +∞
+
∑
для произвольного
0
α
>
.
Р
ЕШЕНИЕ. Покажем сначала, что функциональный ряд
1
1
( 1)
()
n
n
nx
α
−
+∞
=
−
+
∑
равномерно сходится на промежутке
[0, )+∞
. Это вытекает из следствия
признака Дирихле (аналога признака Лейбница). Действительно, достаточ-
но заметить, что при любом
[0, )x∈ +∞
числовая последовательность
1
1
()
n
nx
α
+∞
=
+
является монотонной и из оценки
11
,0
()
x
nx n
αα
≤ ≤ < +∞
+
Глава 2
80
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- …
- следующая ›
- последняя »
