ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Из неравенства
10
| || |xx<
следует, что
01q≤<
. Мы доказали, что числовой
ряд
1
0
||
n
n
n
ax
+∞
=
∑
мажорируется рядом
1
n
n
Mq
+∞
=
∑
. Остается заметить, что послед-
ний ряд сходится и, следовательно, сходится числовой ряд
1
0
||
n
n
n
ax
+∞
=
∑
.
Второе утверждение теоремы является непосредственным следстви-
ем первого.
Теорема доказана.
С
ЛЕДСТВИЕ. Если степенной ряд сходится в точке
0
0x ≠
, то для лю-
бого числа
ρ
, удовлетворяющего условию
0
0 ||x
ρ
<<
, ряд сходится на от-
резке
[ ,]
ρρ
−
абсолютно и равномерно.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Абсолютная сходимость ряда для любого значения
[ ,]x
ρρ
∈−
доказана в самой теореме. В частности ряд абсолютно сходится
в точке
x
ρ
=
:
0
|| .
n
n
n
a
ρ
+∞
=
< +∞
∑
Отсюда в силу признака Вейерштрасса вытекает равномерная сходимость
рассматриваемого степенного ряда на отрезке
[ ,]
ρρ
−
. Действительно для
любого
[ ,]x
ρρ
∈−
выполняется оценка
| | | | | | | | , 0,1,2, .
n nn
nn n
ax a x a n
ρ
=⋅≤ =
Следствие доказано.
Т
ЕОРЕМА 12. Для любого степенного ряда
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
существует та-
кое
R
(
0R ≥
или
R = +∞
), что:
1) если
0R =
, то ряд расходится при любом ненулевом значении
x
;
2) если
0 R< < +∞
, то ряд абсолютно сходится для любого вещест-
венного
x
, удовлетворяющего неравенству
||xR<
, и расходится для лю-
бого значения
x
, удовлетворяющего неравенству
||xR>
;
3) если
R = +∞
, то ряд абсолютно сходится для любого веществен-
ного
x
..
;
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через
D
множество всех
x∈
, для ко-
торых степенной ряд сходится. Это множество является непустым, по-
скольку оно содержит значение
0x =
. Положим
sup{| |: }R xxD= ∈
. Тогда
0 R≤ < +∞
или
R = +∞
.
Предположим, что
0R =
. Тогда
{0}D =
, и степенной ряд расходится
при любом ненулевом значении
x
.
Глава 2
90
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
