ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
довательности всегда существует и может принимать числовое значение из
промежутка
[0, )+∞
или значение
+∞
.
Рассмотрим степенной ряд
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
с ненулевым радиусом сходимо-
сти
R
. Тогда для всех вещественных значений
x
, удовлетворяющих усло-
вию
||xR<
определена функция
0
()
n
n
n
f x ax
+∞
=
=
∑
. В этом случае говорят,
что функция
f
представлена в виде суммы степенного ряда. Отметим, что
0
(0)fa=
, то есть коэффициенту при
0
x
. Рассмотрим некоторые свойства
такой функции. Докажем сначала вспомогательные утверждения.
Л
ЕММА 1. Радиусы сходимости степенных рядов
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
и
1
1
n
n
n
na x
+∞
−
=
∑
совпадают.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся рассмотрением частного случая.
Предположим, что существует конечный или бесконечный предел
lim | |
n
n
n
a
ρ
→+∞
=
. Как было показано в предыдущем разделе, в этом случае
радиус сходимости степенного ряда
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
находится по формуле
1
R
ρ
=
.
Ряды
1
1
n
n
n
na x
+∞
−
=
∑
и
1
n
n
n
na x
+∞
=
∑
имеют одинаковые радиусы сходимости. Это
вытекает из того, что при любом
x
эти ряды сходятся или расходятся од-
новременно. Действительно, при
0x =
сходится любой степенной ряд. При
0x ≠
второй ряд может быть получен из первого путем умножения на
x
, а
ряды, отличающиеся ненулевым множителем, сходятся или расходятся од-
новременно. Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда
1
n
n
n
na x
+∞
=
∑
заметим, что
lim | | lim | | lim | | ,
n
n nn
n nn
nn n
na n a a
ρ
→+∞ →+∞ →+∞
= ⋅= =
поскольку
lim 1
n
n
n
→+∞
=
. Это означает, что радиус сходимости ряда
1
1
n
n
n
na x
+∞
−
=
∑
Глава 2
93
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- …
- следующая ›
- последняя »
