ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
отрезке
[ ,]rr−
равномерно. В силу теоремы о дифференцируемости суммы
ряда, имеет место равенство
1
01
, [ ,]
nn
nn
nn
ax nax x rr
+∞ +∞
−
= =
′
= ∈−
∑∑
,
то есть
1
1
( ) , [ , ].
n
n
n
f x na x x r r
+∞
−
=
′
= ∈−
∑
В силу произвольности
r
, получаем, что функция
f
дифференцируема на
промежутке
( ,)RR−
, и последнее равенство имеет место для всех значений
( ,)x RR∈−
. Из леммы 2 выводим, что функция
f
′
непрерывна на проме-
жутке
( ,)RR−
.
Лемма доказана.
Т
ЕОРЕМА 15. Предположим, что степенной ряд
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
имеет нену-
левой радиус сходимости
R
. Тогда функция
0
()
n
n
n
f x ax
+∞
=
=
∑
,
( ,)x RR∈−
яв-
ляется бесконечно дифференцируемой, и имеют место равенства
()
(0)
, 0,1,2, .
!
n
n
f
an
n
= =
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО. Бесконечная дифференцируемость функции
f
следует из леммы 3. Последовательно применяя ее к функциям
f
,
f
′
,
f
′′
и т.д., получаем, что каждая из них непрерывно дифференцируема на про-
межутке
( ,)RR−
и ряд
0
n
n
n
ax
+∞
=
∑
можно любое число раз почленно диффе-
ренцировать:
() ()
0
( ) ( ) , 1, 2, .
k nk
n
n
f x ax k
+∞
=
= =
∑
Найдем производные под знаком суммы. Производные слагаемых, отве-
чающих значениям
0n =
, 1,
1k −
, обратятся в ноль. Поэтому суммирова-
ние будет вестись от
nk=
. Получаем:
()
( ) ( 1) ( 1) , 1, 2, .
k nk
n
nk
f x nn n k ax k
+∞
−
=
= − −+ =
∑
Коэффициент при
0
x
(то есть значение
()
(0)
k
f
) получаем при
nk=
:
()
(0) ( 1) 1 ! , 1, 2, .
k
kk
f kk a ka k= − ⋅= =
Глава 2
95
Функциональные ряды
ç
è
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
