ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
3). Разложить многочлен на неприводимые множители.
Пример:
2
234
−−−− xxxx
Решение: Подберем корень данного многочлена. Корнем является
один из делителей свободного члена. Варианты:
2,1 ±±
.
Подстановкой убеждаемся, что х
0
=-1 – корень:
0211112)1()1()1()1(
234
=−+−+=−−−−−−−−
Поделим многочлен на x-x
0
. Деление будет без остатка.
_ x
4
-x
3
-x
2
-x-2 x+1
x
4
+x
3
x
3
-2x
2
+x-2
_-2x
3
-x
2
-x-2
-2x
3
-2x
2
_x
2
-x-2
x
2
+x
_-2x-2
-2x-2
0
Полученный результат можно записать следующим образом:
x
4
-x
3
-x
2
-x-2=(x+1)(x
3
-2x
2
+x-2)
Найдем корень многочлена x
3
-2x
2
+x-2. Варианты: 2,1 ±± .
Подстановкой убеждаемся, что х
0
=2 – корень. Поделим многочлен
на x-x
0
уголком.
_x
3
-2x
2
+x-2 x-2
x
3
-2x
2
x
2
+1
_ x-2
x-2
0
У многочлена x
2
+1 нет действительных корней. Найдем
комплексные корни.
x
2
+1=0
x
2
=-1
x=
1−±
x=
i±
тогда многочлен x
2
+1=(x+i)(x-i)
Запишем конечный результат.
Ответ: x
4
-x
3
-x
2
-x-2=(x+1)(x-2)(x+i)(x-i)
4). Пользуясь свойствами определителей вычислить.
6
Основные формулы:
Вычисление определителей второго и третьего порядка:
detA=
2221
1211
aa
aa
=
21122211
aaaa −
detA=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
=
=
)(
322311332112312213322113312312131211
aaaaaaaaaaaaaaaaaa ++−++
Свойства определителей:
1) определитель матрицы равен определителю
транспонированной матрицы;
2) если у определителя строчка (столбец) равен нулю, то и сам
определитель нулевой;
3) если в определителе поменять местами две строчки (столбца),
то знак определителя поменяется;
4) если в определителе две одинаковых строчки (столбца), то он
равен нулю;
5) если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на
некоторое число k, то сам определитель умножится на k;
6) определитель, содержащий две пропорциональные строки
равен нулю;
7) если все элементы i-ой строки определителя представить в
виде суммы двух слагаемых
a
ij
=b
i
+c
j
то определитель равен сумме двух определителей, у которых
все строки кроме i-ой – такие же как и в заданном
определителе, а i-ая строка (столбец) в одном из слагаемых
состоит из элементов b
i
, в другом – из элементов c
j
;
8) если одна из строк (столбцов) определителя равна линейной
комбинации его других строк (столбцов), то определитель
равен нулю;
9) определитель не меняется, если к элементам одной из его
строк прибавляются соответственные элементы другой строки,
умноженные на одно и то же число.
Разложение определителя по i-ой строке (j-ому столбцу):
detA=a
i1
A
i1
+a
i2
A
i2
+…+a
in
A
in
где A
ij
-алгебраические дополнения элемента a
ij
.
Определение: дополнительным минором
ij
M элемента a
ij
называется
минор порядка (n-1) получающийся после вычеркивания из
определителя i-ой строки и j-ого столбца. Тогда
A
ij
=(-1)
i+j
M
ij
A
ij
-алгебраические дополнения элемента a
ij
.
Разложение определителя по i-ой строке (j-ому столбцу):
