ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
3) a+0=a
4) a+(-a)=0
Умножение вектора на число
Определение. Произведением вектора а на число x называется
вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора а на
абсолютное значение числа x, а направление совпадает с направлением
вектора а или противоположно ему, смотря по тому, положительно
число x или отрицательно. Если же x = 0, то произведение есть нуль-
вектор.
B
A
O
4
•=
OAOB
Свойства операции умножения вектора на число
1. (x + y) a = xa + ya
2. x (a + b) = xa + xb
3. x (ya) = (xy) a
Нахождение координат вектора
Если известны координаты начала А
{}
111
,, zyx
и конца В
{}
222
,, zyx
вектора, то координаты вектора вычисляются по формуле
x=x
2
-x
1
y=y
2
-y
1
z=z
2
-z
1
Координаты середины отрезка АВ находятся по формуле
2
21
xx
x
+
=
2
21
yy
y
+
=
2
21
zz
z
+
=
6
Длина вектора. Расстояние между двумя точками
Длина вектора а выражается через его координаты формулой
222
zyxа
++=
Расстояние d между точками определяется по формуле
2
12
2
12
2
12
)()()( zzyyxxd −+−+−=
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением вектора а на вектор b
называется число, равное произведение их модулей на косинус угла
между ними
ϕ
cosbaab
=
Если векторы a(x
1
,y
1
,z
1
) и b(x
2
,y
2
,z
2
) заданы своими координатами,
то
ab=x
1
x
2
+y
1
y
2
+z
1
z
2
Свойства скалярного произведения
1. Свойство признак:
0),( =⇔⊥ baba
2. ab = ba
3. ( a+b ) m = am +bm
4. (ma) b = m (ab)
5. Если векторы коллинеарны, то ab = ± | a | | b | ( знак +, если
векторы имеют одно и то же направление, знак - , если
противоположное).
Условие перпендикулярности векторов
0
212121
=++ zzyyxx
Угол между векторами
Угол
ϕ
между векторами а и b
можно найти по формуле
сos
ba
ab
=
ϕ
Правая и левая тройки векторов
