Методы и средства оперативного анализа случайных процессов. Пивоваров Ю.Н - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

94
∫∫∫∫
∞∞∞∞
=−−−−
00
0
00
0
0)()()()()()()(
ττττ
dudutXtYuhdudtXutXhuh
nn
[][]
∫∫
∞∞
=
−−−−
00
0
0)()()()()()( duutXtYMdtXutXMuhuh
un
ττ
.
Это условие выполняется при любом виде
)(
τ
h , если внутренний
интеграл равен нулю.
[][]
0)()()()()(
0
0
=−−−−
∫
∞
utXtYMdtXutXMuh
u
ττ
. (1.218)
Это – условие синтеза оптимальных динамических систем, из него
определяется
)(
τ
h - оптимальная ИПХ. Уравнение (1.218) справедливо как для
стационарных так и для нестационарных случайных сигналов.
В частном случае, когда полезный сигнал и помеха стационарны,
математические ожидания, стоящие в левой части, не будут зависеть от
времени, а лишь от разности временных аргументов.
[]
)()()()(
τ
τ
τ
−
Ψ
=
−
Ψ
=
−− uutXutXM (1.219)
[]
)()()( uutXtYM
u
γ
=− . (1.220)
В этом случае наше уравнение примет вид:
∫
∞
=−
0
0
)()()( uduh
γττψτ
. (1.221)
Это – классическое уравнение Винера–Хопфа. Оно имеет совершенно
определенную физическую интерпретацию и может быть решено в явном
виде, тогда величина
)(tΨ рассматривается как входной сигнал динамической
системы, а
)(t
γ
– как выходной.
В изображениях Лапласа соотношение между этими величинами будет
выглядеть как:
),()()( ppWp Ψ
=
γ
отсюда
)(
)(
)(
p
p
pW
Ψ
=
γ
,
где:
∫
∞
−=
0
,)()exp()( duupup
γγ
∫
∞
−Ψ=Ψ
0
.)exp()()( dupuup
Положим
0ф= , тогда
[]
),()()( uutXtXM
Ψ
=−
[]
).()()( uutXtYM
u
γ
=− 
            ∞∞                                              ∞∞

            ∫ ∫ h0 (u )hn (τ )X (t − u ) X (t − τ )dudτ − ∫ ∫ h0 (u )Yn (t )X (t − u )dudτ = 0
            0 0                                             0 0
            ∞
                      ∞
                                                                                
             (u )∫ h0 (u ) M [X (t − u ) X (t − τ )]dτ − M [Yu (t ) X (t − u )]du = 0 .
            ∫h    n
          0      0                                                             
     Это условие выполняется при любом виде h(τ ) , если внутренний
интеграл равен нулю.
            ∞

            ∫ h (u )M [X (t − u ) X (t − τ )]dτ − M [Y
            0
                  0                                     u   (t ) X (t − u )] = 0 .               (1.218)

     Это – условие синтеза оптимальных динамических систем, из него
определяется h(τ ) - оптимальная ИПХ. Уравнение (1.218) справедливо как для
стационарных так и для нестационарных случайных сигналов.
     В частном случае, когда полезный сигнал и помеха стационарны,
математические ожидания, стоящие в левой части, не будут зависеть от
времени, а лишь от разности временных аргументов.

            M [ X (t − u ) X (t − τ )] = Ψ (τ − u ) = Ψ (u − τ )                                 (1.219)
            M [Yu (t ) X (t − u )] = γ (u ) .                                                    (1.220)

     В этом случае наше уравнение примет вид:
            ∞

            ∫ h (τ )ψ (u − τ )dτ = γ (u ) .
            0
                  0                                                                              (1.221)


       Это – классическое уравнение Винера–Хопфа. Оно имеет совершенно
определенную физическую интерпретацию и может быть решено в явном
виде, тогда величина Ψ (t ) рассматривается как входной сигнал динамической
системы, а γ (t ) – как выходной.
      В изображениях Лапласа соотношение между этими величинами будет
выглядеть как:
                                                             γ ( p)
            γ ( p ) = W ( p)Ψ ( p ), отсюда W ( p) =                  ,
                                                            Ψ ( p)
     где:
                      ∞
            γ ( p ) = ∫ exp(− pu )γ (u )du ,
                      0
                      ∞
            Ψ ( p ) = ∫ Ψ (u ) exp(− pu )du.
                       0

     Положим          ф = 0 , тогда

            M [X (t ) X (t − u )] = Ψ (u ),
            M [Yu (t ) X (t − u )] = γ (u ).



                                                                                                     94

Страницы