Методы оперативной обработки статистической информации: Учеб. пособие. Часть 1. Пивоваров Ю.Н - 37 стр.

дание mx(t) и автокорреляционная функция Rx(t,t+ τ) процесса {
X(t)} (фигурные скобки означают ансамбль реализаций)
определяются из соотношений

                                N
                          1
           mx(t)= lim
                          N
                                ∑ X л( t )                       (1.59а)
                  N →∞          л =1
                                       N      Ο    Ο
                                1
           Rx(t,t+ τ )= li m           ∑ X k( t ) X k ( t + τ)   (1.59б)
                         N →∞   N      x =1


причем при суммировании предполагается, что появление всех
реализаций равновероятно. В общем случае, когда функции mx(t) и
Rx(t,t+ τ ) меняются с изменением момента времени t, случайный
процесс {X(t)} называется нестационарным. В частном случае
независимости mx(t) и Rx(t,t+ τ ) от t случайный процесс {X(t)}
называется стационарным в широком смысле. Математическое
ожидание такого процесса постоянно, а автокорреляционная
функция представляет собой функцию единственной переменной -
временного сдвига между сечениями процесса, то есть mx(t)=mx,
Rx(t,t+ τ ) = Rx( τ).
       Для случайного процесса {X(t)} можно отыскать бесконечное
множество начальных и центральных (в том числе и смешанных)
моментов; их совокупность полностью описывает плотности
распределения процесса. Когда все начальные и центральные
моменты не зависят от времени, процесс называют стационарным в
узком смысле (более точное определение такого типа
стационарности будет приведено ниже). Любой процесс,
стационарный в узком смысле, является стационарным и в широком,
но не наоборот.
       Эргодические случайные процессы
       Выше был рассмотрен вопрос об определении свойств
случайного процесса путем осреднения по ансамблю в отдельные
моменты времени. Однако, во многих случаях представляется
возможным описать свойства стационарного случайного процесса
путем       осреднения   по   времени    отдельных    достаточно
продолжительных реализаций ансамбля. Рассмотрим, например, К-ю
выборочную функцию случайного процесса, изображенного на
рисунке 16. Математическое ожидание mx(k) и автокорреляционная
функция этой реализации Rx( τ,k) определяются выражениями

                     T
                  1
      Mx(k)= lim ∫ X k ( t )dt                                   (1.60a)
             T →∞ T 0


                                                                     39