Электронные методы обработки информации. Плотникова С.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

шем случае это может быть связь между двумя переменными x и y, заданная таблично (см. файл Экспе-
римент1).
Требуется найти зависимость между x и y, которая бы:
− представлялась в виде простой формулы y = f (x);
− отражала общую тенденцию поведения искомой зависимости;
− исключала случайные отклонения, связанные с погрешностями измерений.
Нанесем на плоскости XOY пары точек (x
i
, y
i
), соответствующие заданным значениям (см. файл
Эксперимент4) .
Очевидно, что существует бесконечное множество кривых, проходящих через эти точки, но с уче-
том сформулированных ранее требований разумно взять некоторую прямую.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 10203040
ряд 2
ряд 1
Таким образом, исходя из определенных соображений, на которые влияют опыт исследователя,
теоретические предпосылки и т.п., устанавливается вид зависимости y = f (x). Как известно, прямая на
плоскости описывается соотношением y = ax + b, где a и b – некоторые числа, в данном случае неиз-
вестные параметры искомой функции.
Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квад-
ратов неизвестные параметры выбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений δ
i
= f(x
i
) – y
i
была
наименьшей. Исходя из этого замечания, найдем параметры a и b для случая, когда искомая функция
имеет вид y = ax + b. Для этого найдем a и b, при которых функция
∑∑
==
−+=δ=
n
i
n
i
iii
ybaxbabaS
11
22
)(),(),(
принимает наименьшее значение, где n – число пар точек (x
i
, y
i
). Таким образом, задача нахождения па-
раметров a и b сводится к поиску минимума функции S(a, b).
Вспоминая необходимое условие экстремума, получаем систему из двух уравнений с двумя неиз-
вестными:
⇔
=⋅δ
=⋅δ
⇔
=δ⋅δ
=δ⋅δ
⇔
=
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
n
i
bii
n
i
aii
b
a
ba
xba
baba
baba
S
S
1
1
1
'
1
'
'
'
01),(
0),(
0)),((),(2
0)),((),(2
0
0
=+
=+
⇔
=−+
=−+
⇔
=−+
=−+
⇔
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑
∑
==
===
===
===
=
=
.
01
0
0)(
0)(
11
111
2
111
111
2
1
1
n
i
n
i
ii
n
i
n
i
ii
n
i
ii
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
iii
ybnxa
xyxbxa
ybxa
xyxbxa
ybax
xybax
i
Рассмотрим определитель ∆ полученной системы:

Страницы