Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 43 стр.

      В 1868 году Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского реализу-
ется на псевдосфере.
      Геометрию Лобачевского часто называют гиперболической, т.к. гипер-
бола обладает на проективной плоскости c фиксированной прямой d0 двумя
несобственными точками и двумя асимптотами (касательными к овальной
кривой в несобственных точках).
                            Прямая в плоскости Лобачевского также
                            обладает двумя несобственными точками, в
                             которых она пересекается с абсолютом.




                  d0

     Одну из поверхностей, на которой выполняется геометрия Лобачевско-
го, можно получить вращением трактрисы вокруг оси абсцисс. Это так назы-
ваемая псевдосфера – поверхность отрицательной кривизны в евклидовом
пространстве, на которой локально реализуется геометрия плоскости Лоба-
чевского. (рис.2).



              У


                                                         а
                                                а     в А

          О               Х
              рис.1
                                                             рис.2




       Трактриса – это кривая, длина касательной к которой постоянна
(т.е. отрезок от точки касания до оси абсцисс есть константа). рис1
Псевдосфера – поверхность вращения в виде двух сложенных
       Прямой линией считаем гидезическую линию – т.е. линию кратчайше-
го расстояния между точками. Бельтрами показал, что на псевдосфере реали-
зуется часть площади Лобачевского. Псевдосфера – поверхность постоянной
отрицательной кривизны (т.е. гиперболическая форма), т.к. сумма углов тре-
угольника на ней меньше 2d. Сфера – поверхность положительной постоян-
ной кривизны (сумма углов треугольника больше 2d). Эллиптическое про-
                                                                        43