Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 42 стр.

Определение2.4.1: Прямые АL и АL’ называются параллельными прямой а,
если они удовлетворяют следующим свойствам:
   a) они не пересекают прямой а;
   b) все прямые пучка π(А), проходящие внутри одной пары вертикальных
      углов, образованных АL и АL’, пересекают прямую а, а проходящие
      внутри другой пары – не пересекают прямую а.

Определение2.4.2: Угол ВАL называется углом параллельности в точке А
относительно прямой а.

Замечания: 1) На плоскости Лобачевского угол параллельности всегда ост-
рый. 2) Говорят, что АL параллельна а в направлении ВХ; АL’ – в направле-
нии ВХ’. 3) Через каждую точку А ∉ а проходят две прямые, параллельные
прямой а.

Определение2.4.3: Прямые а и в называются расходящимися ( сверх парал-
лельными), если они лежат в одной плоскости и не пересекаются и не парал-
лельны.

Замечания: 1) Через точку А проходит большое множество прямых, расхо-
дящиеся с а. (Это все прямые пучка π(А), проходящие внутри заштрихован-
ных вертикальных углов).



        А                  а, в - расходящиеся


L’            L
              а

2) Т.о., на плоскости Лобачевского существуют три случая взаимного рас-
положения прямых: прямые пересекаются, параллельны или расходятся.

     Можно доказать следующие теоремы:

Теорема 2.4.6: Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, расходятся.

Следствие: Не существует общего перпендикуляра двух параллельных пря-
мых.

Теорема 2.4.7: Любые две расходящиеся прямые имеют общий перпендику-
ляр.



42