Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно,
СВ
∠
=
∠∠=
∠
2;1
(3). Докажем, что
=
∩
""CВВС
Ø.
Предположим противное:
=
∩
""CВВС
М. Возможны 2 случая: 1) М = С;
2) μ(ВМС).
1)
Если М = С, то C” = С =>
2
∠
<
С
∠
, что противоречит (3).
А
В”
В C” = С
2) Если μ(ВМС), то , что противоречит теореме о внешнем угле тре-
угольника (∆МСС”)
2∠=∠С
A
B” C
B М
C”
Следовательно, Ø, следовательно, μ(АС”C) (по аксиоме Паша).
=∩ ""CВВС
Имеем:
dBdd 23242;231
=
∠
+
∠
⇒
=
∠+∠
=
∠+∠
+
dC 24
=
∠
+
∠
dBC 443
=
∠
+
∠
+
∠
+
∠
- что противоречит след-
ствию из
теоремы1. Следовательно,∆АВC = ∆А’В’C’(по 2-му признаку).
Теорема доказана.
Теорема 2.4.4:
Пусть прямые а и a’ лежат в одной плоскости и не пересе-
каются, А, В, С
∈а и μ(АВС); A’, B’ – ортогональные проекции точек А и В
на прямую а’. Тогда <
ACA'∠ BCB'
∠
.
Доказательство:
А В С Предположим противное: ≥
ACA'∠ BCB'∠
а
ACA'
∠
+
'
А
ВВ
∠
=2d
а’ 2d
A’ B’ С’ Тогда в четырёхугольнике А’АВВ’:
B
B
∠++∠+∠∠ ''
≥ 4d, что противоречит следствию из теоремы1.
Теорема доказана.
40
Следовательно, ∠1 = ∠В; ∠2 = ∠С (3). Докажем, что ВС ∩ В"C" = Ø.
Предположим противное: ВС ∩ В"C" = М. Возможны 2 случая: 1) М = С;
2) μ(ВМС).

1) Если М = С, то C” = С => ∠2 < ∠С , что противоречит (3).
         А
     В”


     В            C” = С

2) Если μ(ВМС), то ∠С = ∠2 , что противоречит теореме о внешнем угле тре-
угольника (∆МСС”)
             A

           B”              C

           B      М
                                 C”
Следовательно, ВС ∩ В"C" = Ø, следовательно, μ(АС”C) (по аксиоме Паша).
Имеем: ∠1 + ∠3 = 2d ; ∠2 + ∠4 = 2d ⇒ ∠3 + ∠B = 2d
                                    +
                                   ∠C + ∠4 = 2d
                               ∠C + ∠B + ∠3 + ∠4 = 4d - что противоречит след-
ствию из теоремы1. Следовательно,∆АВC = ∆А’В’C’(по 2-му признаку).
Теорема доказана.


 Теорема 2.4.4: Пусть прямые а и a’ лежат в одной плоскости и не пересе-
каются, А, В, С ∈ а и μ(АВС); A’, B’ – ортогональные проекции точек А и В
на прямую а’. Тогда ∠A' AC < ∠B' BC .

Доказательство:

     А    В С                  Предположим противное: ∠A' AC ≥ ∠B' BC
                      а        ∠A' AC + ∠АВВ ' =2d

                      а’             2d
     A’   B’ С’                         Тогда в четырёхугольнике А’АВВ’:
∠А'+∠B'+∠A + ∠B ≥ 4d, что противоречит следствию из теоремы1.
Теорема доказана.




40

Страницы