Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 39 стр.

геометрии. Желая доказать непротиворечивость своей геометрии, Лобачев-
ский даёт её аналитическое истолкование: он вычислил многие интегралы,
которые до него не были вычислены.


Простейшие факты геометрии Лобачевского на плоскости в схеме Гиль-
берта (следствия аксиом системы Σ ∗ = Σ′ ∪ {5* } ).

Теорема 2.4. 1: Во всяком треугольнике АВС сумма внутренних углов
σАВС <2d.

Доказательство:
По 1-ой теореме Саккери-Лежандра σАВС ≤ 2d. Предположим, что σАВС = 2d
=> (т.к. это эквивалентно 5-му постулату Евклида) справедлив 5-ый постулат
Евклида, что противоречит 5*. Следовательно, σАВС <2d.
Теорема доказана.

Следствие: Во всяком простом четырёхугольнике сумма внутренних углов
меньше 4d.
Теорема 2.4.2: Сумма углов треугольника непостоянна, т.е. не одна и та же
для всех треугольников.

Доказательство:
Предположим противное: сумма σ постоянна. Пусть С’, А’ – внутренние
                               точки соответственно АВ и ВС.
         А                      σA’BC’= σABC (по предположению); т.е.
                                ά + γ’ + β = α + γ + β; => ά + γ’ = α + γ (1)
     С’ α                       (ά + φ = 2d; γ’ + ψ =2d) =>
      ά φ                       (ά + γ’) + (φ+ ψ) = 4d                     (2)
       β     ψ                  (1), (2) => α + γ + φ+ ψ = 4d, т.е. в простом
 В       γ’     γ               четырёхугольнике АС А’ С’ сумма
            А’       С             внутренних углов равна 4d. Это противо-
речит следствию из теоремы1. Следовательно, σA’BC’ ≠ σABC
(4-ый признак равенства треугольников)

Теорема 2.4.3: Если 3 угла ∆АВС соответственно конгруэнтны 3-ём углам
∆А’В’C’, то эти треугольники конгруэнтны.

Доказательство:
        А                      A’
                                      Предположим, что АВ ≠ A’B’ (АВ>A’B’)
             1 2                       Тогда существует точка В” ∈ [АВ] такая,
    В”                 C” B’        C’ что АВ” = A’B’ . На луче АС возьмём
         3         4                    точку C” такую, что АC” = A’C’.Имеем:
   В                     С              ∆АВ”C” = ∆А’В’C’(по 1-ому признаку).
                                                                            39