Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 41 стр.

UptoLike

Составители: 

Теорема 2.4.5:
Пусть на плоскости даны прямая а и точка А а. Сущест-
вует большое множество прямых этой плоскости, проходящих через точку
А и не пересекающих прямую а.
Доказательство:
По аксиоме 5
*
существуют 2 такие прямые: в и с.
N’ B Прямая а лежит в одной полуплоскости,
N ограниченной прямой с. Эта полуплоскость
A C пересекает прямую в по лучу АМ. На луче,
S в M c дополнительном к АМ, возьмём точку В. Точка
В и прямая а лежат в разных полуплоскостях с
a границей с. Если D
а, то ВD пересекает с в
D точке С. Пусть N – внутренняя точка отрезка
ВС. Требуется доказать: Ø.
=Ν аА I
Предположим противное: предположим
=
Ν аА I
S. Но луч АN и прямая а
лежат в разных полуплоскостях. Следовательно, S
АN’- доп. К АN лучу. К
NSD применим аксиому Паша: прямая в не проходит через точки N, S и D;
АSв =ΝI
; в не пересекает ND => в
I
сторону SD => Ø. Это противоре-
чит условию. Следовательно,
ав I
=
Ν аА I
Ø. Т.к. N – произвольная точка отрезка
ВС и их (внутренних точек ВС) бесконечное множество (континуум), то
теорема доказана.
Возьмём на плоскости прямую а и точку А
а. Проведём и
аАВ АВАС
.
А По
теореме5 существует большое
С множество прямых, проходящих
L’ Р
0
через точку А и не пересекающих
прямую а. АС
этому множеству.
L По теореме о внешнем луче
Х а треугольника: если прямая проходит
х через точку А и пересекает прямой
В D P угол ВАС, то она пересекает отрезок
ВС. Точки отрезка ВС разобьем на 2 класса: К
1
и К
2
по принципу:
= aAMBCMК /][{
1
Ø пересекает прямую а.
== aAMBCMК I/][{
2
Ø не пересекает прямую а.
Можно показать, что указанное разбиение точек отрезка ВС удовле-
творяет всем условиям аксиомы Дедекинда, и на ВС произведено дедекиндо-
во сечение.
Пусть точка L производит это сечение. Докажем, что . Пред-
положим противное: . Следовательно, АL пересекает прямую а в точке
D
лучу ВХ. Возьмём точку P
2
КL
1
КL
ВХ и μ(ВDP). Тогда ( по теореме
о внутреннем луче угла); получили противоречие. Следовательно,
0
РLCАР =I
2
КL
.
Возьмём прямую АL’ симметричную АL относительно АВ.
41
 Теорема 2.4.5: Пусть на плоскости даны прямая а и точка А ∉ а. Сущест-
вует большое множество прямых этой плоскости, проходящих через точку
А и не пересекающих прямую а.

Доказательство:
По аксиоме 5* существуют 2 такие прямые: в и с.
     N’              B        Прямая а лежит в одной полуплоскости,
                     N        ограниченной прямой с. Эта полуплоскость
               A     C        пересекает прямую в по лучу АМ. На луче,
S в M                       c дополнительном к АМ, возьмём точку В. Точка
                              В и прямая а лежат в разных полуплоскостях с
                         a    границей с. Если D ∈ а, то ВD пересекает с в
                   D           точке С. Пусть N – внутренняя точка отрезка
                               ВС. Требуется доказать: АΝ I а = Ø.
Предположим противное: предположим АΝ I а = S. Но луч АN и прямая а
лежат в разных полуплоскостях. Следовательно, S ∈ АN’- доп. К АN лучу. К
∆NSD применим аксиому Паша: прямая в не проходит через точки N, S и D;
в I ΝS = А ; в не пересекает ND => в I сторону SD => в I а ≠ Ø. Это противоре-
чит условию. Следовательно, АΝ I а = Ø. Т.к. N – произвольная точка отрезка
ВС и их (внутренних точек ВС) бесконечное множество (континуум), то
теорема доказана.

Возьмём на плоскости прямую а и точку А ∉ а. Проведём АВ ⊥ а и АС ⊥ АВ .
         А                                По теореме5 существует большое
                         С                множество прямых, проходящих
  L’                  Р0                   через точку А и не пересекающих
                                           прямую а. АС ∈ этому множеству.
                    L                      По теореме о внешнем луче
                          Х         а      треугольника: если прямая проходит
 х’                                         через точку А и пересекает прямой
         В                     D    P        угол ВАС, то она пересекает отрезок
ВС. Точки отрезка ВС разобьем на 2 класса: К1 и К2 по принципу:
К 1 = {M ∈ [ BC ] / AM ∩ a ≠ Ø  пересекает прямую а.
К 2 = {M ∈ [ BC ] / AM I a = Ø не пересекает прямую а.
         Можно показать, что указанное разбиение точек отрезка ВС удовле-
творяет всем условиям аксиомы Дедекинда, и на ВС произведено дедекиндо-
во сечение.
         Пусть точка L производит это сечение. Докажем, что L ∈ К 2 . Пред-
положим противное: L ∈ К 1 . Следовательно, АL пересекает прямую а в точке
D ⊂ лучу ВХ. Возьмём точку P ∈ ВХ и μ(ВDP). Тогда АР I LC = Р0 ( по теореме
о внутреннем луче угла); получили противоречие. Следовательно, L ∈ К 2 .
Возьмём прямую АL’ симметричную АL относительно АВ.

                                                                              41