Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 37 стр.

Можно доказать, что аксиомы 4.1 – 4.2 при сохранении 1 – 3 эквивалентны
следующему предложению Дедекинда: Пусть даны разбиения точек отрезка
АВ на два класса К1 и К2 (т.е. К1 ∪ К2 = АВ и К1 ∩ К2= ø), удовлетворяющие
двум условиям:
   1. А ∈К1 и В ∈К2 и классы К1 и К2 содержат также точки, отличные от
      А и В.
   2. любая точка класса К1, отличная от А, лежит между точкой А и лю-
      бой точкой класса К2.
Тогда существует точка М0 отрезка АВ, такая, что если для любого Х ∈АВ,
если µ(АХМ0), то Х ∈К1; если µ( М0ХВ), то Х ∈К2.
Это разбиение называется дедекиндовым сечением.
Точка М0 единственна (легко доказать). Она производит это сечение.
5-ая группа аксиом (аксиома параллельности):

Пусть на плоскости дана прямая а точка А ∉ а. Тогда в этой плоскости суще-
ствует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекаю-
щей а.
Замечание:1) Ранее было доказано, что аксиома 5 эквивалентна 5-ому по-
стулату Евклида.
2) Используя аксиомы непрерывности, можно установить, что существует
биекция множества точек прямой на множество R действительных чисел,
сохраняющая порядок (σ: а → R по правилу для любой точки А ∈а, σ(А) =х;
если А правее В, то σ(А)> σ(В).
Т.о., точки прямой расположены непрерывно одна за другой, как и числа в
множестве R, т.е. образуют однокамерный континуум. Пусть ∑’ и ∑” – 2
системы аксиом.
3) Определение2.3.4.: Две системы аксиом ∑’ и ∑” называются
     эквивалентными, если в теорию Ґ(∑’) справедливы все предложения
     из ∑”, и в теорию Ґ(∑”) справедливы все предложения из ∑’.

     В этом случае имеем одну теорию Ґ(∑’) = Ґ(∑”).
     Удачный выбор системы аксиом из эквивалентных систем может зна-
чительно упростить построение соответствующей теории.
     Можно доказать: системы ∑w ( система аксиом Вейля) и ∑Η (Гильбер-
та) эквивалентны.Обе они определяют структуру трёхмерного евклидова
пространства Е3.


  3) С современной точки зрения аксиоматика Гильберта представляется
     чрезвычайно сложной и громоздкой; внутренне она не связана с поня-
     тием векторного пространства. В 1918 году немецкий математик Гер-
     ман Вейль предложил свою аксиоматику, основанную на применении
     векторного пространства. Она содержит 15 аксиом: аксиомы 1-2 Вейля


                                                                        37