Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

ВАС
∠
и А’– внутренний
ВСА
∠
=> ‹
'ВСА∠ ВСК
∠
А
С К
Теорема доказана.
Определение2.3.1.:
Пусть а – некоторая прямая плоскости α. Если точки А, В
А принадлежат плоскости α такие, что отрезок АВ не
пересекает прямую а, то говорят: А и В лежат по одну
сторону от прямой а
; если точки А и С принадлежат
В С а плоскости α, такие, что отрезок АС имеет внутреннюю
точку на прямой а, то А и С лежат по разные стороны
от прямой а
.
Определение 2.3.2. :
Множество всех точек плоскости, лежащих по одну
сторону от прямой а с некоторой точкой А, называется полуплоскостью с
границей а.
Определение2.3.3.: Пара полупрямых h, k, выходящих из одной и той же
точки О и не принадлежащей одной прямой, называется углом.
6) Теорема о внутреннем луче угла: если луч исходит из вершины угла и
имеет хотя бы одну внутреннюю точку, то он пересекает любой
отрезок с концами на разных сторонах угла.
4-ая группа аксиом (аксиомы непрерывности):
4.1 (аксиома Архимеда): Пусть АВ и СD – какие – либо отрезки. Тогда
на прямой АВ существует конечное множество точек А
1
, А
2
,..., А
n
,
С D удовлетворяющих условиям:
а) µ (А А
1
А
2
); µ( А
1
А
2
А
3
);...
А А
1
А
2
А
n-1
В А
n
б) А А
1
= А
1
А
2
= ... = А
n-1
А
n
= СD
в) µ (А В А
n
)
(или для любых АВ > СD существует n
∈
N такое, что n СD > АВ)
4.2 (аксиома Кантора): Пусть на прямой а дана бесконечная последо-
вательность отрезков А
1
В
1
, А
2
В
2
,..., такая, что каждый последующий есть
часть предыдущего и для любого наперёд заданного
А
1
А
2
В
2
В
1
отрезка СD найдётся n
∈
N такое, что А
n
В
n
< СD.
Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из от-
резков {А
n
В
n
}. (Можно доказать единственность точки М методом от против-
ного)
*
*
Если предположить, что N также принадлежит А
n
В
n
, то для любого n
∈
N МN< А
n
В
n
. Получили противо-
речие аксиоме Кантора.
36
                                    ∠ВАС и А’– внутренний ∠ВСА => ∠ВСА' ‹ ∠ВСК
А                  С     К
Теорема доказана.
Определение2.3.1.: Пусть а – некоторая прямая плоскости α. Если точки А, В
       А     принадлежат плоскости α такие, что отрезок АВ не
             пересекает прямую а, то говорят: А и В лежат по одну
             сторону от прямой а; если точки А и С принадлежат
 В      С а     плоскости α, такие, что отрезок АС имеет внутреннюю
            точку на прямой а, то А и С лежат по разные стороны
            от прямой а.



Определение 2.3.2. : Множество всех точек плоскости, лежащих по одну
сторону от прямой а с некоторой точкой А, называется полуплоскостью с
границей а.

Определение2.3.3.: Пара полупрямых h, k, выходящих из одной и той же
точки О и не принадлежащей одной прямой, называется углом.

     6) Теорема о внутреннем луче угла: если луч исходит из вершины угла и
        имеет хотя бы одну внутреннюю точку, то он пересекает любой
        отрезок с концами на разных сторонах угла.

4-ая группа аксиом (аксиомы непрерывности):

     4.1 (аксиома Архимеда): Пусть АВ и СD – какие – либо отрезки. Тогда
     на прямой АВ существует конечное множество точек А1, А2,..., Аn,
     С        D        удовлетворяющих условиям:

                                а) µ (А А1 А2); µ( А1 А2 А3);...
     А А1 А2     Аn-1 В Аn      б) А А1 = А1 А2 = ... = Аn-1 Аn = СD
                                в) µ (А В Аn)
(или для любых АВ > СD существует n ∈ N такое, что n СD > АВ)
    4.2 (аксиома Кантора): Пусть на прямой а дана бесконечная последо-
вательность отрезков А1В1, А2В2,..., такая, что каждый последующий есть
часть предыдущего и для любого наперёд заданного
 А1 А2     В2 В1       отрезка СD найдётся n ∈ N такое, что АnВn< СD.
Тогда на прямой а существует точка М, принадлежащая каждому из от-
резков {АnВn}. (Можно доказать единственность точки М методом от против-
ного) *


*
 Если предположить, что N также принадлежит АnВn , то для любого n ∈ N МN< АnВn. Получили противо-
речие аксиоме Кантора.

36

Страницы