Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

А B’ B B’
ά A’ C’
О В О’ A’ A C
3.5 Если для двух треугольников имеем: АВ = А'В'; АС = А'С';
''' CABBAC ∠
=
∠
, то
''' CBAABC
∠
=
∠
Следствия из аксиом равенства ( 3-ья группа)
1)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство:
С Рассмотрим ∆ САВ и ∆СВА: СВ = СА
ВС = АС =>
\ /
ВСААСВ ∠=∠
А В
=> из 3.5 =>
СВАСАВ
∠
=
∠
Определение:
∆АВС = ∆ А’В’C’, если АВ = А’В’, ВС = В’C’, АС = А’C’,
'
А
А
∠=∠
,
'
В
В
∠=∠
,
'CC ∠=∠
2) Если для ∆АВС и ∆ А’В’C’ АВ = А’В’, ВС = В’C’и
'
А
А
∠=
∠
, то ∆АВС =
= ∆А’В’C’
Доказательство:
По аксиоме 3.5
'
В
В
∠=
∠
;
'CC
∠
=
∠
. Осталось доказать, что ВС = В’C’. Пред-
положим, что ВС В’C’. Тогда по аксиоме
3.1 на луче В’C’ существует
≠
точка D такая, что В’D’ = ВС. Тогда лучи А’C’ и
А’D’ – различны. По аксиоме 3.5
В
BACDAВ
∠
=
∠
'''
, но
ВАСCAB ∠=
∠
'''
.
В’ Получили противоречие требованию
единственности в аксиоме 3.4.
\ \
C’ Следовательно, ВС = В’C’.
\\ С \\
А А
’ D’
3)Если для ∆АВС и ∆А’В’C’, АВ = А’В’
'
А
А
∠
=
∠
,
'
В
В
∠
=
∠
, то ∆АВС =
= ∆А’В’C’
4) Если для ∆АВС и ∆А’В’C’, АВ = А’В’, ВС = В’C’, АС = А’C’, то
∆АВС =
∆А’В’C’
5) Внешний угол треугольника больше всякого внутреннего, не смежного с
ним.
Доказательство:
В А’ Отрезок ВС разобьем точкой О пополам и
\ \\ отложим на луче АО ОА’ = АО. ∆АОВ =
= ∆А’ОС (по 1-ому признаку). Следовательно,
\\ О \
BОСА
∠
=
∠
'
; μ(АОА’) => А’ – внутренний
35
                  А                  B’                        B           B’
                                ά                                     A’        C’
     О                В              О’      A’           A            C

    3.5 Если для двух треугольников имеем: АВ = А'В'; АС = А'С';
           ∠BAC = ∠B' A' C ' , то ∠ABC = ∠A' B' C '

Следствия из аксиом равенства ( 3-ья группа)
1) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство:
         С               Рассмотрим ∆ САВ и ∆СВА: СВ = СА
                                                  ВС = АС        =>
       \     /                                       ∠АСВ = ∠ВСА

А                           В       => из 3.5 => ∠САВ = ∠СВА


Определение: ∆АВС = ∆ А’В’C’, если АВ = А’В’, ВС = В’C’, АС = А’C’,
∠А = ∠А' , ∠В = ∠В ' , ∠C = ∠C'

2) Если для ∆АВС и ∆ А’В’C’ АВ = А’В’, ВС = В’C’и ∠А = ∠А' , то ∆АВС =
   = ∆А’В’C’
                              Доказательство:
По аксиоме 3.5 ∠В = ∠В' ; ∠C = ∠C' . Осталось доказать, что ВС = В’C’. Пред-
положим, что ВС ≠ В’C’. Тогда по аксиоме 3.1 на луче В’C’ существует
                           точка D такая, что В’D’ = ВС. Тогда лучи А’C’ и
                                  А’D’ – различны. По аксиоме 3.5
         В                          ∠В' A' D' = ∠BAC , но ∠B' A' C' = ∠ВАС .
                              В’ Получили противоречие требованию
                                     единственности в аксиоме 3.4.
       \                    \          C’       Следовательно, ВС = В’C’.
            \\ С                \\
   А                    А’             D’
  3)Если для ∆АВС и ∆А’В’C’, АВ = А’В’ ∠А = ∠А' , ∠В = ∠В' , то ∆АВС =
   = ∆А’В’C’
   4) Если для ∆АВС и ∆А’В’C’, АВ = А’В’, ВС = В’C’, АС = А’C’, то
   ∆АВС = ∆А’В’C’
   5) Внешний угол треугольника больше всякого внутреннего, не смежного с
   ним.
Доказательство:

         В                      А’     Отрезок ВС разобьем точкой О пополам и
              \            \\          отложим на луче АО ОА’ = АО. ∆АОВ =
                                     = ∆А’ОС (по 1-ому признаку). Следовательно,
         \\           О\              ∠ОСА' = ∠B ; μ(АОА’) => А’ – внутренний

                                                                                   35

Страницы