Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 33 стр.

Теорема доказана.

      При доказательстве теорем элементарной геометрии в рассуждениях
совершенно исключены обращения к чертежу и наглядной очевидности; ка-
ждое рассуждение объясняется ссылкой на аксиомы и ранее доказанные тео-
ремы, что соответствует принципам дедуктивно–аксиоматического метода
построения теории Гильберта.
      Около 1830 года почти одновременно Я. Бойаи и Н.И. Лобачевский
представили систематическое построение неевклидовой геометрии. Однако
вера в необходимость 5-го постулата Евклида укоренилась в умах математи-
ках настолько, что теории Бойаи и Лобачевского вызвали недоверие и воз-
мущения.
      Полемика продолжалась до 1870 года, когда удалось наконец устано-
вить непротиворечивость неевклидовой геометрии: были построены модели
этой геометрии Э. Бельтрами (1835 – 1900); Ф. Клейном (1849 – 1925) и А.
Пуанкаре (1854 – 1912), что показало, что геометрия Лобачевского непроти-
воречива, если непротиворечива аксиома вещественных чисел.

2-ая группа аксиом (аксиомы порядка) * :

2.1 Если μ(АВС), то А, В, С – три различные точки одной прямой и μ(СВА).
2.2 Для любых двух точек А,В ∈ Е, существует по крайней мере одна точка С
    на прямой АВ, токая, что μ(АВС).
2.3 Из трёх различных точек прямой не более одной точки лежит между
    двумя другими.
2.1 – 2.3 – линейные аксиомы порядка.
Далее можно доказать обычное определение отрезка АВ={А,В}U{М ∈ Е/
μ(АВС)}.
Относится к      фигур на плоскости.
2.4 (аксиома Паша) Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой, а –
прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из точек А,В или С.
Тогда, если прямая а проходит через внутреннюю точку отрезка АВ, то она
 проходит также через внутреннюю точку отрезка АС или через
 внутреннюю точку отрезка ВС.

Следствия из аксиом порядка и принадлежности:
  1) Каковы бы ни были точки А и С, существует по крайней мере одна
     точка D прямой АС, такая, что μ(АDС)
  Доказательство:
                      По аксиоме 1.3 существует, по крайней мере одна
            F         точка E ∈ АС; из 2.2 => на АЕ существует точка F
     E                 такая, что μ(АЕF); на FС существует точка G,
                      такая, что μ(FСG); тогда по 2.3 G не лежит

*
    Предполагается, что точки прямой находятся в отношении порядка «лежать между».

                                                                                     33