Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 31 стр.

      • Существует пара неравных треугольников АВС и А’В’C’ с равными
        углами ∠А' , ∠В' , ∠C'.
      • Теорема Пифагора

   Со временем Евклида и до конца 19 века было множество попыток дока-
зать 5-ый постулат (О. Хойям – 1048–1023г.г.; Лежандр – 17520–1833г. и др.).
Обычно автор доказательства незаметно для себя опирался на некоторое до-
пущение, которое оказывалось ещё одним эквивалентом 5-го постулата. По-
пытки были бесплодными, но был получен ряд верных результатов, наиболее
чёткое доказательство которых было дано Лежандром.

Теорема2.2.7. (первая теорема Саккери – Лежандра): Сумма углов любого
треугольника меньше или равна 2d.

Теорема2.2.8. (вторая теорема Саккери – Лежандра): Если в одном треуголь-
нике сумма углов равна 2d, то сумма углов любого другого треугольника
равна 2d.

Следствие: Если в одном треугольнике сумма углов меньше 2d, то сумма
углов всякого треугольника меньше 2d.

    §2.3. Система аксиом Гильберта (обзор). Обоснование евклидовой гео-
                           метрии по Гильберту

       Со времён Евклида не прекращались попытки уточнять основные по-
ложения геометрии. Однако на протяжении многих веков к обоснованию
геометрии никто не прибавил ничего принципиально нового сверх то, что
уже было сделано Евклидом. Строгость евклидовых доказательств до 19 века
казалась достаточной. Только в конце 19 века оформились воззрения на
принципы логического построения геометрии.
       В 1899 году вышла в свет книга Д. Гильберта «Основания геометрии».
В ней впервые был дан список аксиом, достаточный для логического по-
строения евклидовой геометрии. Полные списки аксиом евклидовой геомет-
рии составлялись и до Гильберта, но не такие совершенные.
       По Гильберту, база структуры евклидова пространства состоит из 3-х
множеств: E, F, G. Е – множество точек; А, В, С,… , F – множество прямых
  а, в, с,… , G – множество плоскостей α, β, γ,… .
       На этих множествах заданы 3 отношения: бинарное «принадлежит»;
тернарное «лежит между»; бинарное «равно», которые удовлетворяют сле-
дующим 20 аксиомам, разбитым на 5 групп.
1-ая группа аксиом (аксиомы принадлежности) * :

1.1 Каковы бы ни были 2 точки А, В ∈ Е, существует прямая а ∈ F,
*
    Предполагается, что точки, прямые и плоскости связаны бинарным отношением.
                                                                                 31