Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 32 стр.

    проходящая через эти точки. Такая прямая а единственна (свойство от-
    носительно принадлежности)
1.2 На каждой прямой а ∈ F лежат по крайней мере 2 точки А, В ∈ Е.
1.3 Существуют по крайней мере 3 точки, не лежащие на одной прямой.
1.4 Существует единственная плоскость, проходящая через 3 точки, не
    лежащие на одной прямой.
1.5 На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка.
1.6 Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости α, то любая точка
    прямой а лежит в плоскости α. (В этом случае говорят: а лежит в
    плоскости α, или плоскость α проходит через прямую а).
1.7 Если две плоскости α и β имеют юдну общую точку А, то они имеют по
    крайней мере ещё одну общую точку В.
1.8 Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной
    плоскости.

Замечание: Исходя из этих аксиом, можно доказать ряд теорем, большин-
ство из которых в школьном курсе геометрии не доказываются (очевидны),
например:

Теорема 2.3.1: Две прямые имеют не более одной общей точки.

Теорема 2.3.2: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют об-
щую прямую, на которой лежат се общие точки этих двух плоскостей.

Теорема2.3.3: Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через
две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

Теорема 2.3.4: На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие
на одной прямой.
Доказательство:
                          Пусть дана плоскость α; по аксиоме 1.5, α
         B                содержит некоторую точку A; по аксиоме 1.8,
C      β         E         существует точка B ∉ α. 1.3 => существует точка
             λ             C ∉ АВ; плоскости АВС и α имеют общую точку
 α                F        А; 1.7 => плоскости АВС и α имеют ещё одну
   D     A                 общую точку D ∉ АВ. Т.о., в плоскости α, кроме
                            точки А, необходимо содержится точка D ≠ А;
1.8 => существует точка E ∉ АВD; 1.4 => существует плоскость АВЕ ≠ АВD;
1.7 => плоскости АВЕ и α имеют ещё одну общую точку F ≠ А; 1.6 => F ∉ АВ
(если предположить, что F ∈ АВ, то F ∈ АВD). Т.о. D ∉ АВ и F ∉ АВ => по тео-
реме2, D и F не являются общими точками плоскостей АВС и АВЕ => D и F
– различны. Т.о., в плоскости α существуют 3 различные точки А, D, F;
предположим, что они коллинеарны, по аксиоме 1.6 получили противоречие
(F ∉ АВС). Если предположим, что F ∈ АВС, то через точки А, В, F проходят
две различные плоскости: АВС и АВЕ – противоречие аксиоме 1.4
32