Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 30 стр.

          β           в      ά = β => α = ά => a= a’.Следовательно, имеет
место аксиома параллельных прямых, эквивалентная 5-му постулату.
     Из теорем 3 и 4 следует, что 5-ый постулат Евклида эквивалентен ут-
верждению: при пересечении двух параллельных прямых третьей соответ-
ственные углы равны.

Теорема 2.2.5.: Если имеет место 5-ый постулат Евклида, то сумма углов
любого треугольника равна 2d.

Доказательство:
         В    1
                a         Через вершину В проведём а ‫ ׀׀‬АС. По
      2     3             эквивалентности 5-го постулата α = 1 = 2;
         β                 γ = 3. Следовательно, α + β + γ = 2 + β + 3 = 2d

     α            γ

А                     С

Теорема 2.2.6. (Нассир – Эддина – Туси, азерб. математик 13 века ): Если
сумма углов любого треугольника равна 2d, то справедлив 5-ый постулат
Евклида.(доказал Лежандр)



Доказательство:

     М            в         МN ┴ а; в ┴ МN => в ‫׀׀‬а, в’≠ в => α – острый
             в’             или тупой угол; α < d
     α                      МN = NN1; МN1 = N1N2; … ; МNn - 1 = МNn =>
         d    d                              d                    d
                            => ∠ МNnN =         ; => ∠ NМNn = d - n ;
         2    4                             2 n
                                                                 2
    N N1 а      N2            По условию α < d => существует n такое, что
∠ NМNn > α => в’ лежит внутри ∠ NМNn, т.е. в’ пересекает отрезок NNn, т.е.
в’и а пересекаются. Т.е. справедлива аксиома параллельных.
                           Теорема доказана.

     Из теорем 2.2.5 и 2.2.6 следует, что 5-ый постулат Евклида имеет экви-
валент:
Сумма внутренних углов любого треугольника равна 2d.

Другие эквиваленты:
  • Существует прямоугольник;
  • Существует треугольник, сумма углов которого равна 2d;

30