Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 28 стр.

                             Для этого достаточно опустить перпендикуляр
                             МN к u и в точке М провести u`
 N                   u        перпендикулярно МN. На основании предыду-
щего прямая u` параллельна прямой u.
      После этого, естественно, должен быть решён вопрос: проходит ли че-
рез каждую точку плоскости только одна прямая, параллельная данной, или
таких прямых существует множество.

Теорема 2.2.1: Через каждую точку А, не принадлежащую прямой а, прохо-
дит           единственная прямая, параллельная прямой а, если справедлив
5- ый постулат Евклида.



Доказательство:

     А                   а`         АВ ┴ а, через точку А a` ┴ АВ;=> a` ‫׀׀‬a. Через
2            1                      точку А проведём а``≠ а` => <1 или <2 – острый;
                         а``        Пусть <1 – острый, => при пересечении двух пар
                                     прямых а и а` третьей АВ получим
             3                        <1 + <3 <2d => прямые пересекаются
     В                    а




Теорема 2.2.2. (обратная) : Если принять, что через каждую точку А, не
принадлежащую прямой а, проходит только одна прямая, параллельная
прямой а, то справедлив 5-ый постулат Евклида.


Доказательство:
                                                    Пусть даны прямая а и не
                                            принадлежащая
                                            этой прямой точка А. Через точку А
         А                                  проведём прямые с и в, с∩а=В; β-
                 ά             a’           острый из смежных углов; γ - тупой.
                                            Прямая в такая, что α + β <2d
λ’ с         α       в         λ        С    Т.д.: прямая в пересекает прямую а
                                             (т.е. прямая в не параллельна прямой а),
γ            β                                причём точка в∩а лежит в
         В                    a С’           полуплоскости λ , с границей с, в которой
                                            лежат углы β и α. Проведём прямую a’
так, что ά + β = 2d. Тогда ά + β = 2d
                           α + β <2d          => α < ά => в ≠ a’
28