Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

На недостатки Евклида указывал уже Архимед (жил на 100 – 150 лет
позднее Евклида). Для того, чтобы сравнивать отрезки, он ввёл свою
аксио-
му Архимеда:
Для любых двух отрезков а и в(в<а) существует nє N, такое что nв >а.
§2.2. Пятый постулат Евклида и его эквиваленты
В абсолютной геометрии (без использования 5 постулата) можно дока-
зать:
1) признаки равенства треугольников; 2) в равнобедренном треугольнике уг-
лы при основании равны;3) теорему о внешнем угле треугольника:
каждый
из внешних углов треугольника больше любого внутреннего, с ним не
смежного.
Доказательство (по Евклиду):
В А
’
О
А C
(ВС, О) = 1; АО = ОА’. Тогда треугольник АВО равняется треугольнику
А’ОС (по двум сторонам и углу между ними), следовательно, < АВО =
=<OCA’, Но угол ОСА’ составляет часть внешнего угла при вершине С. Сле-
довательно, теорема доказана.
Последний момент (что угол ОСА’ – часть угла С) устанавливается из
наглядности чертежа, т.к. аксиомы Евклида не дают возможности точно
обосновать понятия « между», «внутри» и т.д. Кроме того, в доказательстве
использовалось понятие равенства треугольников, которое не обосновано,
т.к. не определено движение у Евклида. Таким образом, приведённые рассу-
ждения существенно подкрепляются наглядностью чертежа.
Далее можно определить
параллельные: две прямые называются па-
раллельные, если они не имеют общей точки.
Докажем (по Евклиду) существование параллельных прямых. Доста-
точно доказать, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
А а
Действительно, пусть прямые а и в составляют
с прямой с прямые углы. Предположим, что
С они пересекаются в точке С. Тогда для
В в треугольника АВС по теореме о внешнем угле
с
А
∠
>
В
∠
, что противоречит положению.
М u` Отсюда следует, что через любую точку М
плоскости можно провести прямую,
параллельную к u
∉
М
27
     На недостатки Евклида указывал уже Архимед (жил на 100 – 150 лет
позднее Евклида). Для того, чтобы сравнивать отрезки, он ввёл свою аксио-
му Архимеда:
Для любых двух отрезков а и в(в<а) существует nє N, такое что nв >а.

           §2.2. Пятый постулат Евклида и его эквиваленты

     В абсолютной геометрии (без использования 5 постулата) можно дока-
зать:
1) признаки равенства треугольников; 2) в равнобедренном треугольнике уг-
лы при основании равны;3) теорему о внешнем угле треугольника: каждый
из внешних углов треугольника больше любого внутреннего, с ним не
смежного.
Доказательство (по Евклиду):
    В                         А’

               О



 А                          C
(ВС, О) = 1; АО = ОА’. Тогда треугольник АВО равняется треугольнику
А’ОС (по двум сторонам и углу между ними), следовательно, < АВО =
= ∠В , что противоречит положению.

М                  u`      Отсюда следует, что через любую точку М
                           плоскости можно провести прямую,
                           параллельную к u ∉ М
                                                                       27

Страницы