Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 29 стр.

γ + β = 2d
ά + β = 2d => ά = γ => a’ ‫ ׀׀‬a (если предположить, что a’ и a пересекаются
в некоторой точке С, то в треугольнике АВС внешний угол γ равен одному из
внутренних углов, не смежных с ним, что противоречит теореме о внешнем
угле треугольника, при доказательстве которой 5-ый постулат не использует-
ся).
Т.к. параллельная прямая a’ единственна по условию, то т.к. в ≠ a’, то в∩а.
Осталось доказать, что в∩а принадлежит λ.
α < ά; ά = γ => α < γ.
Предположим противное: прямые в и а пересекаются в полуплоскости λ’. То-
гда в треугольнике АВС внешний угол α меньше внутреннего γ, не смежного
с ним. Получили противоречие с теоремой о внешнем угле треугольника.
Следовательно, а∩ в принадлежит λ.
                        Теорема доказана.
       Аксиома параллельности является современной формой 5-го постулата
Евклида, введённой в практику преподавания Дж. Плейфером (1748 – 1819).

Замечание: Из теорем 1 и 2 следует: 5-ый постулат эквивалентен
следующему утверждению (постулату Плейфера): существует не более
одной прямой , параллельной данной прямой а и проходящей через данную
точку А, не принадлежащую прямой а.
(Существование параллельной прямой не постулат, т.к. оно доказывается).

Теорема 2.2.3.: Если справедлив 5-ый постулат Евклида, то при пересечении
двух параллельных прямых третьей соответственные углы равны.

Доказательство:
           β    в
                                 Предположим противное: пусть α ≠ β
            γ                                                   β + γ = 2d   =>
       с                         => α + γ ≠ 2d. Напротив, α + γ <2d          в∩а
            α       а
                                 противоречит условию.

Теорема 2.2.4.: Если при пересечении двух параллельных прямых третьей
соответственные углы равны, то справедлив 5-ый постулат Евклида.

Доказательство:

                    αά       a     Дано: α = β; a ‫ ׀׀‬в
                А                   а∩с=А;
                        a’         Пусть a’ ‫׀׀‬в и проходит через точку А;
        с                           прямая a’ с с образует угол ά. По условию


                                                                                   29