Лекции по основаниям геометрии. Подаева Н.Г - 38 стр.

         аффинного пространства; 8 аксиом векторного пространства; 1 «аксио-
         ма размерности» и 4 аксиомы билинейной формы g: VxV→R.



                        r                       r r
    I.   ∀( А ∈ Е 3 )∀( а ∈ V )∃!(Β ∈ E 3 ) / AB = a      аксиомы в
                               r     r        r
   II.   ∀( A, B, C ∈ E 3 ) : АВ + ВС = АС                аффинном пространстве
         r r r r
  III.   а+в =в +а
           r r r r r r
 IV.     ( а + в ) + с = а + (в + с )
          r r r r r r
   V.    ∃0 / 0 + a = a + 0 = a
           r
                                                 аксиомы векторного пространства
                    r r           r     r r r
 VI.     ∀0∃(−a ) / a + (−a ) = −a + a = 0
            r r r
 VII.    ∀a 1 • a = a
                r            r
VIII.    α ( βa ) = (αβ )a
                     r      r        r
 IX.     (α + β )a = αa + βa
             r r           r        r
   X.    α (a + в ) = αа + αв
           r r r r             r r r
 XI.     ∃а, в , с / αа + βв + γс = 0 ⇒ α = β = γ = 0 (аксиома размерности)
             r r          r r
 XII.    g ( a , в ) = g (в , а )
             r r r              r r       r r
XIII.    g (а , в + с ) = g (а , в ) + g (а, с ) аксиомы скалярного произведения
                r r            r r
XIV.     g (αа , в ) = αg (а , в )
                  r r               r r
XV.      Если а ≠ 0, то g (а, а )〉 0

    Мы же ранее определяли структуру евклидова пространства по Вейлю,
исходя из того, что структура векторного пространства V над полем R уже
известна. Это упростило форму аксиоматики Вейля.


           §2.4. Лобачевский и его геометрия. Аксиома Лобачевского

      Н.И. Лобачевский (1792 – 1856г) родился в Нижнем Новгороде, окон-
чил Казанский университет, оставлен там преподавателям, стал профессо-
ром.
      7 февраля 1826 года представил физико-математическому факультету
Казанского университета доклад по теории параллельных «Рассуждения о
принципах геометрии». Издал ряд сочинений по геометрии.
      Лобачевский первым в своих работах чётко сформулировал и обосно-
вал, что 5-ый постулат Евклида нельзя вывести из остальных аксиом геомет-
рии Евклида. Лобачевский отвергает этот постулат и заменяет его аксиомой
Лобачевского 5*: Пусть даны прямая а и точка А ∉ а. Тогда в плоскости
(А,а) существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пе-
ресекающих прямую а.
      Используя аксиому 5* и все аксиомы Евклида, кроме 5-го постулата,
Лобачевский строит свою (гиперболическую) геометрию на плоскости и в
пространстве, находит формулы тригонометрии и даёт приложение анализа к
38